¿Cuál es uno de los principios de cómo se comporta el mundo físico? Aprendiendo y Estudiando para siempre

Un principio particularmente omnipresente es el principio de acción mínima, que se puede afirmar como:

Dadas las ecuaciones correctas de movimiento de un sistema, la acción [math] S = \ int \ mathcal {L} dt [/ math] del Lagrangian [math] \ mathcal {L} [/ math] es estacionaria con respecto a las pequeñas Variaciones del recorrido por el sistema.

Esto debería ser familiar para aquellos que conocen al menos la mecánica clásica (de modo que no tiene mucho sentido leer lo que escribí a continuación). Para los no físicos, antes de hacer un bosquejo de lo que esto significa matemáticamente, primero diré por qué esto es importante:

Es una reformulación equivalente de las leyes del movimiento de Newton, y en ciertos casos es incluso “mejor” que la original. ¿Por qué mejor? Supongamos que ha usado las leyes de Newton para escribir una ecuación diferencial para un sistema, usando las coordenadas cartesianas rectangulares regulares. Ahora de repente te das cuenta de que, aunque es fácil de escribir en forma cartesiana, la ecuación diferencial es difícil de resolver en forma cartesiana, y tal vez las coordenadas polares sean más fáciles. Esto significa que tienes que volver a modelar todo el problema usando coordenadas polares, o hacer una transformación loca de cartesiana a polar. Pero, si tiene el Lagrangiano en coordenadas polares, entonces su trabajo es más sencillo, porque las ecuaciones de movimiento toman la misma forma en cualquier sistema de coordenadas .
Conduce al teorema de Noether, que permite a los físicos encontrar las cantidades conservadas simplemente al conocer las simetrías del sistema. Un ejemplo bien conocido es el hecho de que la conservación del 4-momento (es decir, la energía y el momento combinados en un solo vector en la relatividad especial) se deriva de la simetría de la traducción espacio-tiempo. ¿Y por qué son importantes las leyes de conservación? Porque en algunos casos le permiten calcular los estados finales / iniciales de un sistema sin preocuparse por toda la complicada trayectoria dependiente del tiempo (por ejemplo, si ha hecho física básica, recuerde usar la conservación del momento para resolver un problema de la bola de billar, o Conservación de energía para resolver un problema de caída de objetos.

Habiendo explicado por qué el principio de acción mínima es importante, al menos debería esbozar lo que dice. Concretamente, dice esto:

Supongamos que puede tener un Lagrangiano [math] \ mathcal {L} (q_1, \ dot {q} _1, q_2, \ dot {q} _2,…, t) [/ math] como una función de las coordenadas generalizadas [math ] q_1, q_2,…, t [/ math]. Entonces la trayectoria [math] q_1 (t), q_2 (t),… [/ math] se puede encontrar al imponer la condición de que [math] S = \ int \ mathcal {L} dt [/ math] es estacionario para el Correctas ecuaciones de movimiento. “Estacionario” significa que [math] S [/ math] no cambia cuando las ecuaciones de movimiento están ligeramente perturbadas, y en realidad no garantiza que [math] S [/ math] sea un mínimo (por lo tanto, el principio de “menos “la acción es un poco engañosa).
Cuando se aplica la condición, podemos derivar las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange : [math] \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial q_i} – \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {q_i}} = 0 [/ math]. Recuerda lo que dije acerca de que “las ecuaciones de movimiento toman la misma forma en cualquier sistema de coordenadas”. Esta es la ecuación de movimiento a la que me referí. Y es por esto que llamamos a [math] q_1, q_2, … [/ math] “coordenadas generalizadas”, porque pueden ser el cartesiano [math] x, y, z, … [/ math] o el polar [math] \ phi, \ theta, r, … [/ math].
Para obtener la trayectoria final [math] q_1 (t), q_2 (t), … [/ math], solo necesitamos resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Después de esta explicación “formal”, algunos ejemplos de la vida diaria deberían ayudar. Básicamente, cualquier problema de física en la escuela secundaria se puede resolver utilizando el principio de acción mínima. Ejemplos son:

Péndulo doble: péndulo unido al techo, con un segundo péndulo unido al mismo.
Refracción de la luz atravesando diferentes medios.
Encontrar la ecuación que describe la forma en que una cuerda cuelga cuando está suspendida de sus dos puntos finales.