En realidad, son programas radicalmente diferentes en muchos aspectos. Para ayudar a entender las diferencias, podría ayudar a entender brevemente por qué existe cualquiera de los dos programas en primer lugar.
A principios del siglo pasado, hubo un poco de crisis en las matemáticas. Las paradojas abundaron, y los matemáticos se ayudaron a sí mismos a hacer suposiciones de todas partes. No había suficiente rigor para asegurar que las pruebas hicieran su trabajo. Se podría decir, hubo una crisis fundacional . Los matemáticos y los filósofos estaban desesperados por establecer algún tipo de fundamento para mantener las matemáticas seguras, y para ayudar a garantizar que pudieran comenzar a confiar en sus pruebas una vez más.
Todo esto suena bastante dramático, y realmente lo fue. Hay una transcripción encantadora de una charla que se puede encontrar aquí: http://web.stanford.edu/~ebwarne…
Todo este drama fue la causa directa de la introducción de los “tres grandes”: el intuicionismo, el lógismo y el finitismo. Pero cada uno adoptó un enfoque muy diferente para abordar los problemas. Compartían un objetivo común, pero cada uno diagnosticaba el problema de manera diferente, y cada uno resolvía el problema de una manera muy diferente. El hecho de que estén agrupados no debe inducirle a error a pensar que son similares.
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Logismo
Es un programa reduccionista. Se vio que la lógica tenía ciertas propiedades que Frege prefería para las matemáticas. Es necesario , es decir, las leyes lógicas son necesariamente verdaderas. Es (posiblemente) analítica y a priori, con una epistemología determinada y determinada. Y es riguroso, con el potencial de reglas y axiomas claramente definidos y simples a partir de los cuales puede construir todo el sistema.
Como tal, si las matemáticas se pueden reducir a la lógica, se puede demostrar que las matemáticas tienen todas estas propiedades. Y, además , los matemáticos pueden seguir las reglas de la lógica y, por lo tanto, construir pruebas sin temor a fallar, y aún más conceptos problemáticos como los de “función” pueden resolverse y definirse dentro de este sistema. Para ser honesto, el logicismo es un poco inapropiado, ya que no logra captar el complejo trabajo en metafísica que sustenta el reduccionismo de Frege.
Su programa fue así:
- delinear la filosofía de fondo que sustenta la lógica (defina conceptos, funciones y similares)
- mostrar cómo las matemáticas pueden reducirse a principios lógicos básicos simples.
Por lo tanto, se dedicaría a definir el concepto de número y mostraría cómo reducirlo a reglas y estructuras analíticas y lógicas. Lamentablemente, esto dependería de la ahora infame Ley Básica Cinco. Sin darse cuenta, se ayudó a sí mismo a partes de la teoría de conjuntos, y al hacerlo, se ayudó a sí mismo a la paradoja de Russell. Su apéndice en el que analiza la paradoja, de la que Russell le informó justo antes de su publicación, es paradigmático de integridad intelectual y honestidad.
Formalismo
El formalismo es un poco más difícil de precisar, ya que no hay un equivalente de Frege; hay algunos finitismos, de los cuales Hilbert (que a menudo se trata como central) es uno solo. Pero a grandes rasgos, el formalismo es un intento de reducir las matemáticas a conjuntos de reglas para la manipulación de colecciones de símbolos. Toma un axioma, que es solo una colección de signos, y luego sigue ciertas reglas para pasar de una cadena a la siguiente.
Esto suena a logicismo pero de hecho es muy diferente. Las lógicas son entidades complejas por derecho propio, con una sintaxis y una semántica. Tienen axiomas y reglas también, pero también interpretaciones. Podrías ser un formalista sobre la lógica. Pero Frege ciertamente no lo fue, como lo demuestra su uso inadvertido de la teoría de conjuntos. Para el logista, las matemáticas se reducen a la lógica, pero la lógica es más que un juego formal.
Para el formalista, la matemática no es lógica. Las matemáticas son la manipulación de cadenas siguiendo ciertas reglas. Puede pensarse como un juego para jugar, con la diferencia principal de ser el objetivo y el contexto, el objetivo es abordar problemas matemáticos y encontrar ciertas cadenas deseables a través del seguimiento de esas reglas.
Como dije, lo mantengo amplio: cada finitismo tendrá su propia manera de decir lo anterior, y los detalles son muy importantes. El programa de Hilbert, por ejemplo, siguió las siguientes líneas, expresadas de manera excelente por Richard Zach el SEP:
Estos objetos eran, para Hilbert, signos . El dominio de la teoría numérica contentual consiste en los números finitos, es decir, secuencias de trazos. Estos no tienen ningún significado, es decir, no representan objetos abstractos, pero se pueden utilizar (por ejemplo, concatenar) y comparar. El conocimiento de sus propiedades y relaciones es intuitivo y no está mediado por inferencia lógica. De acuerdo con Hilbert, la teoría de números de contenido desarrollada de esta manera es segura: no pueden surgir contradicciones simplemente porque no hay una estructura lógica en las proposiciones de la teoría de números de contenido.
Programa de Hilbert
Los signos, sean lo que sean (Hilbert no estaba muy claro) se manipulan de forma inmediata y fácil. Así que la manipulación de los signos en esta cuenta es profundamente no lógica.
Pero necesitaba ir más allá de esto, para tener en cuenta todas las matemáticas, y guardarlo sin temor a la contradicción. Necesitaba, por ejemplo, probar que el uso del operador universal estaba bien. Necesitaba probar que una cuenta formalista era consistente y completa. Su programa comenzó así con pruebas de matemáticas finitas, demostrando que el inventario de fórmulas generables en matemáticas iba a ser consistente de manera segura. Y más tarde, el objetivo era demostrar que estuviera completo.
Pero lo más problemático e incierto fueron los aspectos infinitos de las matemáticas. ¿Cómo podría lidiar con ellos y obtener la certeza y el rigor tan deseado?
No obstante, son, o pueden ser útiles, si el sector ideal extiende de manera conservadora el sector sanitario, es decir, si no hay pruebas de premisas finitarias a una conclusión finita que se desvíe a través del lenguaje infinito produce una conclusión que no podríamos haber llegado, aunque quizás ( aquí se encuentra la utilidad) por una prueba más larga y más difícil de manejar.
El formalismo en la filosofía de las matemáticas.
Básicamente, siéntete libre de ser transfinito, pero solo si no te da nada extra. Los atajos transfinitos están bien, pero solo si son realmente atajos, llevándote a donde ya ibas.
Ahora Hilbert solo tenía que demostrar que estas partes de las matemáticas sin contenido, pero útiles, eran seguras y útiles: tenían que ser coherentes y completas. El segundo teorema de incompletitud de Godel puso en valor a esa idea.
Hoy en día, los límites entre los dos parecen un poco más difíciles de identificar. El trabajo de Hilbert llevó directamente a la metamatemática contemporánea y la teoría de la prueba. Ambas son partes importantes de la investigación lógica, y las lógicas contienen teorías de prueba por derecho propio. Pero recuerde que si bien estos términos son confusos, y la motivación histórica detrás de ambos fue similar, los dos son muy diferentes. Tienen diferentes fundamentos filosóficos: Frege, por ejemplo, tiene una ontología abstracta. El formalismo tiene una ontología discutible de “signos” y reglas de manipulación. Uno piensa que la lógica es distinta de las matemáticas, el otro piensa que las matemáticas son solo lógica.
Todo esto es un poco dolor de cabeza, y una parte importante de eso es el hecho de que los ismos, que odio, son tan comunes. Si sigues luchando, en lugar de tratar de caracterizar a un ismo de turno, observa un ejemplo que se encuentra en cada ismo. Lea algunos comentarios de Hilbert, un formalista paradigmático, y lea un poco de Frege y algunos comentarios. Entonces empieza a generalizar desde allí. Los ismos son una guía, y verás que a menudo solo confunden los problemas más que ayudarlos.