A lo que te refieres es a la regla de Hund. La justificación completa de la regla de Hund requiere una segunda cuantificación, pero el siguiente análisis simplificado ilustra la razón esencial detrás de esto.
Los estados electrónicos de un sistema están determinados por el Hamiltoniano correspondiente, [math] H [/ math]. Los orbitales de un átomo o molécula son los estados propios de este hamiltoniano. Supongamos que tenemos un sistema de dos electrones, con ambos electrones en estados propios (orbitales), [math] \ phi_1 [/ math] y [math] \ phi_2 [/ math], del Hamiltoniano [math] H ^ {(0 )} [/ math] (el Hamiltoniano atómico que excluye las interacciones electrón-electrón) de manera que
[math] H ^ {(0)} | \ phi_1 \ phi_2 \ rangle = E ^ {(0)} | \ phi_1 \ phi_2 \ rangle [/ math]
donde [math] | \ phi_1 \ phi_2 \ rangle [/ math] es el vector de estado con el primer electrón en orbital [math] \ phi_1 [/ math] y el segundo electrón en el orbital [math] \ phi_2 [/ math] y [math] E ^ {(0)} [/ math] es el valor propio de energía correspondiente. En todos los sistemas físicos, el hamiltoniano es simétrico con respecto al intercambio de etiquetas de electrones. Por lo tanto, el vector de estado [math] | \ phi_2 \ phi_1 \ rangle [/ math] (primer electrón en orbital [math] \ phi_2 [/ math] y el segundo electrón en orbital [math] \ phi_1 [/ math]) es también un vector propio de este Hamiltoniano con el mismo valor propio de energía.
- ¿Explica la ciencia del espíritu el origen de Dios?
- ¿Cuál es la película / libro de ciencia ficción más científicamente correcto hasta la fecha?
- ¿Cuál es el mayor obstáculo para una teoría de campo unificada?
- ¿Por qué la ciencia sola no puede traernos un mundo mejor para vivir?
- ¿Es la exploración del espacio un desperdicio de dinero?
Hay dos problemas con esta descripción: (1) los electrones son fermiones indistinguibles y (2) los electrones tienen espín. Ser fermiones indistinguibles significa que el estado debe ser antisimétrico con respecto al intercambio de etiquetas de electrones. El giro de los electrones es solo otro grado de libertad: cada electrón puede ser un giro hacia arriba ([math] \ uparrow [/ math]) o un spin down ([math] \ downarrow [/ math]). Por lo tanto, dados dos orbitales diferentes [math] \ phi_1 [/ math] y [math] \ phi_2 [/ math], hay dos estados antisimétricos diferentes que son estados propios del Hamiltoniano [math] H ^ {(0)} [/ math] con valor propio [math] E ^ {(0)} [/ math],
[math] | \ Psi_0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [| \ phi_1 \ phi_2 \ rangle | \ uparrow \ downarrow \ rangle – | \ phi_2 \ phi_1 \ rangle | \ downarrow \ uparrow \ sonar] [/ math]
[math] | \ Psi_1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [| \ phi_1 \ phi_2 \ rangle | \ uparrow \ uparrow \ rangle – | \ phi_2 \ phi_1 \ rangle | \ uparrow \ uparrow \ rangle] = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [| \ phi_1 \ phi_2 \ rangle – | \ phi_2 \ phi_1 \ rangle] | \ uparrow \ uparrow \ rangle [/ math]
El estado [math] | \ Psi_0 \ rangle [/ math] con ambos electrones que tienen giros opuestos tiene un giro total de 0, y [math] | \ Psi_1 \ rangle [/ math] con ambos electrones teniendo spin up tiene un giro total de [math] \ hbar [/ math]. (Mentí, hay un tercer estado con ambos electrones girando hacia abajo, pero el resultado es idéntico a tener ambos electrones girando, así que simplemente ignorémoslo).
Ahora que tenemos estados electrónicos legítimos, incluyamos la interacción electrón-electrón. Ambos electrones están cargados negativamente y se repelen entre sí a través del campo eléctrico. Por lo tanto, el Hamiltoniano completo es [math] H = H ^ {(0)} + V [/ math], donde [math] V [/ math] es la energía potencial asociada con esta repulsión electrostática (solo depende de las coordenadas) de los electrones, no de sus espines). Este término adicional cambia tanto los valores propios como los estados propios del sistema. Para el primer orden en teoría de perturbaciones, la energía del estado de giro 0 es
[math] E_0 = E ^ {(0)} + \ langle \ Psi_0 | V | \ Psi_0 \ rangle [/ math]
[math] = E ^ {(0)} + \ langle \ phi_1 \ phi_2 | V | \ phi_1 \ phi_2 \ rangle [/ math]
La segunda línea se obtiene simplemente insertando la expresión para [math] | \ Psi_0 \ rangle [/ math] arriba, usando la ortogonalidad de los estados de giro hacia arriba y hacia abajo, [math] \ langle \ uparrow \ downarrow | \ downarrow \ uparrow \ rangle = 0 [/ math], y la simetría de intercambio del potencial de interacción electrón-electrón, [math] \ langle \ phi_1 \ phi_2 | V | \ phi_1 \ phi_2 \ rangle = \ langle \ phi_2 \ phi_1 | V | \ phi_2 \ phi_1 \ rangle [/ math]. Por otro lado, la energía del estado con giros paralelos es
[math] E_1 = E ^ {(0)} + \ langle \ Psi_1 | V | \ Psi_1 \ rangle [/ math]
[math] = E ^ {(0)} + \ langle \ phi_1 \ phi_2 | V | \ phi_1 \ phi_2 \ rangle – \ langle \ phi_1 \ phi_2 | V | \ phi_2 \ phi_1 \ rangle [/ math]
Es decir, este estado es más bajo en energía en la cantidad [math] \ langle \ phi_1 \ phi_2 | V | \ phi_2 \ phi_1 \ rangle [/ math], a menudo denominada energía de intercambio. Debido a que este estado de dos electrones con espines alineados tiene una energía más baja, es más probable que los electrones se encuentren en este estado que en el estado con espines opuestos.
Lo mismo sucede con los sistemas de más electrones: si se colocan múltiples electrones en estados con la misma energía (descuidando la repulsión electrón-electrón), la configuración de energía más baja viene dada por aquella en la que todos sus espines están alineados. Esto se debe esencialmente a una combinación de la indistinguibilidad de los electrones y la repulsión electrón-electrónica.