Usemos las ecuaciones relevantes para dejarlo claro. Tomaremos el ejemplo original de dos bloques de dimensiones idénticas, uno que pesa 10,000 libras y el otro que pesa 10 libras. Para mayor claridad, conviértase a unidades SI ya que las unidades Imperiales hacen que sea más difícil de entender. El bloque de 10,000 libras tiene una masa de 4,536 kg. Por 10 libras es 4.536 kg.
La fuerza sobre un objeto debido a la gravedad es
F = mg
donde F es la fuerza en Newtons, m es la masa en kilogramos y g es la aceleración gravitacional en metros por segundo al cuadrado. Entonces el bloque más pesado pesaría
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F = 4,536 kg * 9.81 m / s ^ 2 = 44,500 N
Y el bloque más ligero pesaría
F = 4.536 kg * 9.81 m / s ^ 2 = 44.5 N
Puede ver que la fuerza debida a la gravedad en el bloque más pesado es 1.000 veces mayor que la fuerza en el bloque más ligero, porque el primero es 1.000 veces más masivo.
Si la Tierra no tuviera atmósfera, la gravedad sería la única fuerza que actuaría sobre los dos bloques. Entonces, tu suposición sería correcta: los dos bloques golpearían el suelo exactamente al mismo tiempo si se cayeran desde la misma altura en el mismo instante, independientemente de su masa, su forma, su tamaño o su densidad. ¿Cómo puede ser esto, cuando la fuerza gravitacional en el bloque más pesado es 1.000 veces mayor? Debido a que se necesita 1.000 veces más fuerza para superar la inercia de un objeto que es 1.000 veces más masivo y hacer que se acelere exactamente a la misma velocidad (9.81 m / s ^ 2).
Sin embargo, debido a que la Tierra tiene una atmósfera, los objetos deben moverse a través de un mar de partículas de aire para llegar al suelo. Normalmente, usamos la palabra flotabilidad cuando un objeto no se está moviendo en relación con el aire. Por lo tanto, la resistencia proporcionada por el aire al sostener un dirigible más ligero que el aire se conoce como fuerza flotante. Si el objeto se mueve a través del aire, experimenta una fuerza llamada arrastre, que es el resultado de la energía requerida para mover las partículas fuera del camino para que puedan pasar alrededor del objeto (arrastre de forma) y la energía requerida para pasar. Las partículas que arrastran a lo largo de sus lados (fricción de la piel).
Cuando sueltas los dos bloques de una milla de altura, experimentan una fuerza de arrastre en el instante en que comienzan a moverse por el aire. Esto está dado por la ecuación de arrastre,
Ecuación de arrastre
Donde F_D es la fuerza debida al arrastre, rho es la densidad del medio fluido (aire en este caso), v es la velocidad del objeto en relación con el fluido, C_D es el coeficiente de arrastre (un factor derivado experimentalmente dependiente de la forma del cuerpo) y A es el área frontal que se presenta al flujo que se aproxima.
Estás en el camino correcto cuando dices que los dos bloques deben ser del mismo tamaño. Esto significa que A y C_D serán iguales para ambos. Podemos tomar el área frontal como un metro cuadrado para la simplicidad computacional, y asumir que los bloques caen sin volcarse, de modo que A permanece constante. El coeficiente de arrastre adimensional para un cubo es 1.05.
Coeficiente de arrastre
La densidad del aire a una altura de 1 milla (1,609 metros) es 1.047 kg / m ^ 3. A nivel del mar es de 1.225 kg / m ^ 3. En realidad, la fuerza debida al arrastre cambiará con la altitud debido a que la densidad del aire aumenta a medida que nos acercamos al suelo, pero podemos elegir un promedio para simplificar este caso hipotético. Tomamos rho para ser 1.136 kg / m ^ 3.
Aquí viene el quid del problema al considerar la caída de objetos en el aire: la velocidad. En el momento en que sueltes los dos bloques, la fuerza gravitatoria es más que capaz de acelerarlos a través del aire. Sin embargo, a medida que aumenta su velocidad, aumenta la fuerza de arrastre debido a la resistencia del aire. Mira esa ecuación de arrastre otra vez: aumenta no linealmente, pero con el cuadrado de la velocidad. La gravedad tirará y tirará de los bloques hasta que la fuerza de arrastre sea tan alta que sea igual a la fuerza debida a la gravedad. Los bloques no pueden moverse más rápido que esto; No hay otra fuerza que actúe sobre ellos. Esto se conoce como la velocidad terminal, donde tomamos terminal para significar “final”. Los bloques no pueden moverse a través del aire más rápido que la velocidad a la que la fuerza debida a la gravedad es igual a la fuerza debida al arrastre. ¿Por qué, entonces, importa la masa de los dos bloques de forma idéntica? Porque la masa determina la fuerza debida a la gravedad.
Calculemos la velocidad terminal para el bloque de 10 libras. Será donde la fuerza de arrastre es igual a la fuerza gravitacional. La fuerza gravitacional es simplemente el peso del bloque (la variación en g entre el nivel del mar y la altitud de una milla es despreciable). Entonces F_gravity_light = F_drag_light = 44.5 N para el bloque más ligero. Conectando esto en la ecuación de arrastre,
44.5 N = 44.5 kg * m / s ^ 2 = 0.5 * 1.136 kg / m ^ 3 * v_light ^ 2 * 1.05 * 1 m ^ 2
Resolviendo para v_light,
v_light = 8.64 m / s = 19.3 mph
Sólo 19.3 millas por hora? Eso es prácticamente flotando desde una milla. Para comparación, la nave espacial Soyuz cae a 16.4 mph bajo su paracaídas principal.
Aterrizaje Soyuz
¿Por qué es tan lento el bloque más ligero? Porque es un metro (tres pies) en un lado y solo pesa 10 libras. Esto es aproximadamente equivalente a la densidad del aerogel.
¿Qué pasa con el bloque más pesado? Su densidad es casi exactamente la densidad del titanio. ¡Imagina un bloque de titanio de tres pies de lado! Su velocidad terminal será mucho mayor porque la fuerza que la gravedad ejerce sobre ella es 1.000 veces mayor. Ajustando la fuerza de arrastre igual a la fuerza gravitacional, F_drag_heavy = F_gravity_heavy = 44,500 N. Enchufando esto en la ecuación de arrastre,
44,500 N = 44,500 kg * m / s ^ 2 = 0.5 * 1.136 kg / m ^ 3 * v_heavy ^ 2 * 1.05 * 1 m ^ 2
Resolviendo para v_heavy,
v_heavy = 273 m / s = 611 mph
Seiscientos once millas por hora. Eso es ocho décimas del camino a la velocidad del sonido. Si tuviera espacio para caer para siempre, el bloque más pesado alcanzaría velocidades transónicas. Las ondas de choque podrían incluso formarse a su alrededor. La velocidad terminal del bloque más pesado es 32 veces mayor que el bloque más ligero en la milla más baja de la atmósfera.
Los objetos en caída libre no alcanzan instantáneamente su velocidad terminal. Tienen que acelerarlo. Todo el tiempo que están acelerando, experimentan arrastre y la densidad del aire está cambiando, por lo que debe invocar el cálculo para determinar cuánto tiempo tarda un objeto en alcanzar la velocidad máxima. Wolfram Alpha tiene una poderosa calculadora que hará el trabajo por ti.
tiempo de caída libre – Wolfram | Alpha
En su estado actual, una milla no es suficiente para que el bloque de titanio alcance su velocidad máxima. Golpeará el suelo a 360 mph, luego de demorar solo 19 segundos en caer desde una milla de altura hasta el suelo. El bloque de aerogel alcanzará su velocidad terminal después de solo dos segundos y medio. Luego tomará tres minutos completos para golpear el suelo. Esto es dos minutos y cuarenta segundos DESPUÉS de que el bloque de titanio cave un cráter en el suelo. De cualquier forma que lo cortes, dos minutos y cuarenta segundos son significativos. Los dos bloques absolutamente no tocarán el suelo al mismo tiempo.