De la parte superior de mi cabeza, aquí hay algunos ejemplos de las formas en que se puede llevar a cabo la investigación matemática:
Puedes hacer “experimentos” en el sentido de jugar con muchos ejemplos para ver si observas algún patrón. Una vez que observa algunos patrones o estructuras posibles, puede intentar probar que realmente se mantienen en general. Así es como se conjeturó por primera vez la forma del teorema del número primo, por ejemplo.
Otro ejemplo es la fórmula característica de Euler. Después de que se observó “experimentalmente” para los sólidos platónicos, la puerta se abrió para investigar la fórmula en busca de formas más complicadas y para investigar la pregunta de por qué parecía tener el comportamiento que exhibía. Este tipo de preguntas conducen finalmente al campo de la topología algebraica.
Los experimentos de física y física son una fuente rica de problemas que también pueden informar a la investigación matemática de manera similar. Durante mucho tiempo, la órbita de los planetas alrededor del sol fue un misterio. El problema era encontrar un modelo apropiado para predecir con precisión el movimiento de los cuerpos celestes. Los sistemas complicados como los deferentes y los epiciclos se diseñaron para intentar resolver este problema, pero no tuvieron éxito. En última instancia, fue el trabajo de Kepler y Newton el que proporcionó el mejor marco para resolver con éxito el problema. Una interacción similar entre matemáticas y física también ocurrió durante y después de los descubrimientos de la mecánica cuántica y la relatividad, y hoy en día con la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas.
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Preguntas sobre la diferencia entre matemáticas y física. Una diferencia es que en física lo principal que importa es que tus predicciones coinciden con experimentos reales, mientras que en matemáticas también necesitas que tu teoría sea lógicamente rigurosa. Esto no quiere decir que la física no sea lógica, pero creo que el requisito es menos estricto.
Después de siglos de trabajo, la investigación matemática ha construido un edificio sustancial de patrones y estructuras entendidos. Una de las partes más emocionantes, interesantes y maravillosas de la investigación matemática moderna, en mi opinión, es cuando podemos reunir ideas de áreas aparentemente dispares de las matemáticas. Por ejemplo, hemos podido tomar conceptos de áreas más continuas de las matemáticas, como la cohomología singular, e importarlos en el dominio más discreto de la teoría de los números, donde se han aplicado con gran efecto.