¿Cuál es la primera parte de las matemáticas que te hizo darte cuenta de que las matemáticas son hermosas?

Answer 1

Probablemente esta no sea una gran respuesta, pero me pareció hilarante cuando era niño.

Cuando era niño, siempre me fascinaba jugar con los números. Estaba dividiendo 50 por 7 una vez. La respuesta comenzó a salir –

[math] 7 \ rightarrow 7.14 \ rightarrow 7.1428 \ rightarrow 7.142857 \ rightarrow [/ math] OH NO!

Parecía tan hermoso hasta entonces, cada número se duplicaba. Pero 57 rompió el patrón. Pero entonces, pensé, ¿y si el 1 extra viene del centésimo lugar de 112?

[matemáticas] 14 [/ matemáticas]
[math] 0028 [/ math]
[math] 000056 [/ math]
[math] 00000112 [/ math]
[math] 0000000224 [/ math]
[math] 000000000448 [/ math]
[math] 00000000000896 [/ math]
[math] 0000000000001792 [/ math]
[math] 000000000000003584 [/ math]
——————————————–
[math] 142857142857142784 [/ math]

Y a medida que continuaba agregando más y más términos, se correspondía más perfectamente con el resultado de la división. ¡Guauu! Pensé que era una especie de genio. También me hizo ver que esa adición, que aparentemente no tiene conexión con la repetición, lleva a dígitos repetidos. Más tarde descubrió la propiedad cíclica también.

También me encontré con –

[math] 1/99 \ rightarrow 0.01 \ rightarrow 0.0101 \ rightarrow 0.010101 [/ math] [math] \ rightarrow 0.01010101 [/ math]

[math] 1/98 \ rightarrow 0.01 \ rightarrow 0.0102 \ rightarrow 0.010204 \ rightarrow [/ math] [math] 0.01020408 [/ math] [math] \ rightarrow 0.0102040816 \ rightarrow 0.010204081632 [/ math] [math] \ rightarrow 0.01020408163265 [/ mates]

[math] 1/97 \ rightarrow 0.01 \ rightarrow 0.0103 \ rightarrow 0.010309 [/ math] [math] \ rightarrow 0.01030927 [/ math] [math] \ rightarrow 0.0103092783 [/ math]

Pero ahora sabía por qué se estaba rompiendo el patrón, y también sabía que en realidad no se estaba rompiendo.

Hoy en día, estos resultados no parecen ser emocionantes, pero en esos días me aseguraron que había una magia en los números.

Answer 2

¿De cuántas maneras puedes dar 8 manzanas a 4 personas? No todos tienen que recibir la misma cantidad de manzanas, y alguien podría no recibir manzanas.

Suena bastante simple … no podría haber tantas maneras diferentes, ¿verdad? Demos nombres a las personas: Alice, Bob, Carol y Dave. Entonces, podrías darle a Alice 8 manzanas, o podrías darle 7 manzanas y darle a otra persona 1 manzana, o podrías darle a Alice 6 manzanas y luego … Bueno, quizás esto sea más complicado de lo que pensábamos.

Vamos a comenzar a enumerar ejemplos al azar y ver si podemos encontrar un patrón.

Manzanas dadas a (Alice, Bob, Carol, Dave):
(8, 0, 0, 0)
(7, 1, 0, 0)
(7, 0, 1, 0)
(6, 2, 0, 0)
(2, 2, 2, 2)
(5, 1, 0, 2)

Entonces, ¿qué está pasando? Realmente solo necesitamos seleccionar cuatro números enteros que suman 8. Pero, ¿de cuántas maneras podemos hacerlo?

Hmm, intentemos representar las manzanas con estrellas en su lugar. Los mismos ejemplos que antes:

  Alicia |  Bob |  Carol |  Dave     
 ******** |  |  |
 ******* |  * |  |
 ******* |  |  * |
 ****** |  ** |  |
 ** |  ** |  ** |  **
 ***** |  * |  |  ** 

Pero espera. ¿Y si aplastamos cada una de las filas? Simplemente se convierte en una secuencia de estrellas y divisores:

  Alice | Bob | Carol | Dave
 ******** 

Answer 3

******* | * ||
******* || * |
****** | ** ||
** | ** | ** | **
***** | * || **

Así que ahora estas son secuencias de 11 símbolos que siempre contienen 8 * ‘s y 3 |’ s. ¿Pero podemos obtener alguna secuencia como esta? … Sí, cualquier secuencia con 8 * ‘s y 3 |’ s se puede convertir de forma única en una forma de dividir las manzanas. Solo cuenta el número de estrellas entre los divisores.

¿Qué hay del revés? ¿Cada forma de dividir las manzanas da una secuencia diferente? Sí, eso es cierto también. Así que tenemos una correspondencia 1 a 1, también llamada bijección. Eso significa que el número de formas de dividir las manzanas es exactamente igual al número de secuencias de 11 símbolos que tienen 8 * y 3 | ‘s.

Pero ese número es simple. Es exactamente el 11, elige 3, o la cantidad de maneras de llegar desde la parte superior del triángulo de Pascal a la fila 11, entrada 3. Así que sabemos que la respuesta es [math] \ binom {11} {3} = \ frac {11 \ cdot 10 \ cdot 9} {3 \ cdot 2 \ cdot 1} = 165. [/ Math]

Cuando las matemáticas ya no son solo una tarea que le dice exactamente qué fórmula usar, se convierte en un rompecabezas, una exploración.

A veces, los conceptos aparentemente no relacionados pueden vincularse entre sí. A veces podemos juntar cosas que sabemos para resolver un problema que parece algo que nunca podríamos saber. Y a veces podemos aprender algo nuevo en el camino. Eso es lo que me ha enseñado la matemática.

Answer 4

[math] \ int_0 ^ 1 \! \ frac {x ^ 3-1} {\ ln x} \, \ mathrm {d} x [/ math]

Cuando vi esto por primera vez, estaba desconcertado. ¿Cómo hago para resolver esto? ¿Lo hago por partes?

Probado por partes durante una hora, progresivamente cada vez más desordenado. Y cada vez más frustrado.

No lo pensé más hasta que un día, mientras leía “Seguramente estás bromeando, señor Feynman”, encontré:

Ese libro también mostró cómo diferenciar los parámetros bajo el signo integral:
Es una cierta operación. Resulta que eso no se enseña mucho en las universidades; no lo enfatizan Pero entendí cómo usar ese método y usé esa maldita herramienta una y otra vez. Entonces, debido a que fui autodidacta usando ese libro, tuve métodos peculiares de hacer integrales.

No sé por qué recordé ese problema en este momento. Pero fue solo una explosión de alegría cuando me di cuenta de que el 3 (en [math] x ^ 3 [/ math]) podía reemplazarse por una variable general (por ejemplo, p ) y la integral podría tratarse como una función de p ( diga F ( p )) que luego podría diferenciarse wrt p bajo el signo integral.

¡Eso eliminaría la molesta ln ( x ) en el denominador! Y así procedí a encontrar [math] F ‘(p) = \ frac {1} {p + 1} [/ math].

Entonces, [math] F (p) = \ ln (p + 1) + C [/ math].

Todo lo que necesitaba ahora era C , lo que vi se podía encontrar al poner p = 0 en la integral original.

Entonces, F (0) = 0. Esto me dio C = 0.

Ahora, solo necesitaba poner p = 3 y ya estaba listo!

¡Fue jodidamente increíble!

Answer 5

He leído algunas experiencias realmente agradables aquí, pensé que compartiría una parte de mi primer bit.

Yo estaba en la clase 5 (5 º grado equivalente) entonces. Estaba haciendo un pequeño problema y cometí un error y el resultado.

255/0 = (????): -O

ahora estoy atascado ¡¡Mi maestro nunca me enseñó lo que sucede cuando divides un número entre cero!

Comencé mi análisis.
255/10 = 25.5
255/9 = 28.3
255/8 = 31.8
………
.
.
.
.
.
.
255/1 = 255
255 / 0.5 = 510

– Wow, puedes dividir un número con cualquier cosa menos de 1 y obtendrás algo más que el número.

Corro hacia mi madre y le digo: “Mamá, ¡he encontrado una manera de hacer dos tartas si me das solo una!”
(Mi mamá se rió y preguntó, ¿qué vas a robar el otro de la alacena)
Le dije que se lo mostraría, tomé un cuchillo y me quedé mirando el pastel durante mucho tiempo. De repente me sentí confundido. “¡¡¿Cómo se corta un pastel por 0.5? !!!”

Esa fue la primera vez que me di cuenta, incluso un resultado simple en matemáticas tiene un significado más profundo que solo cortar un pastel. Bueno, yo era solo un niño y eso seguro fue una revelación.

Y la historia no terminó ahí, vuelvo a mi análisis. ¿Qué es 255/0?

En los términos de “pastel”, cero no es nada, dividir un pastel por nada, recuperaré mi pastel. Entonces, 255/0 = 255. !!

El día siguiente hablé con mi maestro sobre esto y ella me explicó cómo, cuando se divide un número entre un número realmente muy pequeño, el resultado sería muy grande. Tomó una calculadora que mostró que 255 / 0.0001 = 2550000 (un número muy grande).
Entonces, le pregunté porque cero es el número más pequeño. ¿El resultado debería ser el número más grande en el sistema numérico?

Esa fue la primera vez que entendí el verdadero significado de “INFINITY”. Este, el número todavía no ha dejado de asombrarme.

Answer 6

Cuando era más joven solía definir el éxito como poder averiguar cómo encajar una clavija redonda en un agujero cuadrado. (Ahora mi esposa y yo definimos el éxito como hacer que los niños se duerman lo suficientemente temprano para que podamos pasar un par de horas antes de irnos a la cama).

Un día estaba sentado en clase mirando la ecuación que define un círculo:
[math] r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ math]

Y solo por diversión lo planifiqué:

Entonces pensé, ¿qué pasa si cambiamos ese 2 a un 4? Tenía una muy buena idea de cuál sería el resultado, y no me decepcionó:

Está bien, la historia tiene un punto, lo prometo. Continué aumentando el exponente y trazando la gráfica hasta que obtuve esto:

Y luego me di cuenta, un círculo es realmente un caso especial de la expresión
[math] r ^ {2p} = x ^ {2p} + y ^ {2p} [/ math]
y como p aumenta hasta el infinito,
[math] \ lim_ {p \ to \ infty} r ^ {2p} = x ^ {2p} + y ^ {2p} [/ math]
La forma que se describe por la fórmula es un cuadrado. Así que ahí estaba, una prueba de que podía usar las matemáticas para colocar una clavija redonda (incluso si es solo una teórica) en un agujero cuadrado. Tal vez la tabla no sea la cosa más hermosa que haya visto nunca, pero ciertamente me ayudó a darme cuenta de lo poderosa que puede ser una herramienta matemática.

Answer 7

¡No sé por qué nadie ha mencionado la TRIGONOMETRÍA!

Aquí es cómo comenzó para mí. Probablemente estaba en cuarto grado cuando mi hermano mayor, que era cuatro años mayor que yo, me contó cómo su maestro de matemáticas le había enseñado a medir la altura de un edificio y un árbol usando un hilo, una regla y un transportador. Estaba realmente asombrado. Más tarde, mi padre me dijo que hay algo que se llama trigonometría que podemos usar para medir grandes distancias, incluso de ese sol o luna que usa aparatos simples como telescopios, reglas y sextantes (dispositivo para medir el ángulo). Esto realmente me fascinó (la participación de otros planetas en la discusión de alguna manera lo hizo más interesante). Sin embargo, me pareció bastante increíble. Pocos años después, cuando me topé con la trigonometría como mi trabajo de curso, este fue mi tema favorito. Inmediatamente completé los capítulos y fui a hacer mi propio sextante y mi telescopio para practicar mi problema favorito.

Comencé a medir árboles, a construir e incluso a la velocidad de los aviones volando sobre mi casa. Sin embargo, algunos años más tarde me topé con este problema en el primer capítulo de “Fundamentals of Physics” de Resnick Halliday Walker. Es uno de los libros más hermosos jamás escritos y mi favorito de todos los tiempos. Hay un problema en el primer capítulo.

¡Mida el radio de la Tierra con un palillo de nada más que un cronómetro y un medidor!

¿Es posible medir el radio de la tierra, armado solo con un cronómetro? ¡Sí! La respuesta será solo aproximada, pero eso es mucho mejor que nada.
La idea básica es mirar el amanecer o el atardecer (o la salida de la luna o la luna) de una manera muy particular:

• Para un amanecer (o salida de la luna)
1. De pie y frente al horizonte oriental.
2. En cuanto veas que la extremidad superior del Sol (o la Luna) aparece sobre el horizonte, inicia el cronómetro.
3. Acuéstate, rápido.
4. Continuar mirando el horizonte oriental. El Sol (o la Luna) debería, por un breve tiempo, haber desaparecido debajo del horizonte.
5. En cuanto aparezca de nuevo el Sol (o la Luna), detenga el cronómetro.
• Para una puesta de sol (o puesta de luna)
1. Acuéstate y frente al horizonte occidental.
2. En cuanto veas que la extremidad superior del Sol (o la Luna) desaparece debajo del horizonte, inicia el cronómetro.
3. Levántate, rápidamente.
4. Continuar mirando el horizonte occidental. El Sol (o la Luna) debería, por un breve tiempo, haber reaparecido por encima del horizonte.
5. Tan pronto como el Sol (o la Luna) vuelva a desaparecer, detén el cronómetro.

El tiempo que tarda el Sol (o la Luna) en volver a aparecer (o volver a desaparecer) está relacionado con el ángulo a través del cual la Tierra ha girado entre las apariencias. Si puede medir el tiempo con precisión, puede calcular el ángulo con precisión. Usa la siguiente proporción:
tiempo entre el ángulo de desaparición a través del cual gira la Tierra ————————— = ——————————— un día entero 360 grados
Bien, ahora, ¿cómo puede saber el ángulo con el que gira la Tierra para calcular el radio de la Tierra? Considera lo siguiente. Big Sam y Little Sam se colocan de lado a lado para ver un amanecer. Big Sam mide seis pies de altura, Little Sam solo mide tres pies de altura. ¿Cuál ve el sol primero? Haga clic en la figura de abajo para descubrir …
Big Sam verá al Sol salir primero, porque su cabeza se asomará por encima de la sombra de la Tierra primero. El pequeño Sam tendrá que esperar a que la Tierra gire un poco más para que su cabeza se levante sobre la sombra.
Exactamente el mismo efecto ocurre cuando miras un amanecer: habrá un momento en particular cuando estés de pie y solo puedas ver la luz del sol.
Si se recuesta rápidamente, de modo que su cabeza esté efectivamente al nivel del suelo, entonces la Tierra tendrá que girar una cantidad adicional para llevarlo a la luz:
Si conoces ese ángulo theta y conoces tu altura H , puedes usar un poco de trigonometría para calcular el radio de la Tierra R.

Ahora aquí está la derivación: en ese momento esta fue mi derivación favorita.

r = radio de la tierra
h = altura de la persona
t = tiempo medido en el cronómetro
Ө = ángulo central

Del teorema de Pitágoras,

Dado que ‘t’ es el tiempo medido entre estar de pie y acostarse al atardecer
y dado que hay 86400 seg / día (ciclo diurno completo), por lo tanto

t / 86400 = Ө / (2 * pi)

Combinando ambas ecuaciones, obtenemos,

r = K * (h / t ^ 2), donde K = (1/2) * (86400 / pi ^ 2) = 378 X 10 ^ 6.

La idea de que un método tan simple como este puede calcular algo tan grande como el radio de la tierra me dio escalofríos y gran emoción.

Answer 8

Hay / hubo muchos casos pero claramente recuerdo uno. Yo tenía 10-11 en aquel entonces, aprendiendo y amando la geometría. Un día, mi profesor me pidió que resolviera un problema …

Me pidió que dibujara un triángulo.

Parámetros dados:

1. Perímetro del triangulo
2. Los dos angulos de base

Yo, con mi escaso conocimiento, estaba confundido. Pero mi profesor parecía estar bastante seguro de que podría resolverlo.

Así que … después de rendirse (probablemente no pueda hacerlo), prueba (¡ok, intentémoslo!), Confusión (¡¿qué me falta ?!) y determinación (¡Vamos, puedo hacer esto!), Llegó ¡la solución!

Bastante trivial cuando lo pienso ahora, pero en aquel entonces, cuando lo resolví por primera vez, la alegría insondable que obtuve, fue inigualable.

Aquí está el problema y la solución:

Se dan los siguientes parámetros:

1. Perímetro del triángulo
2. Los dos ángulos de la base.

Supongamos que son los siguientes: (X unidades es el perímetro)

1. Dibuja una línea recta igual a la longitud del perímetro. (X unidades)
2. Dibuja los ángulos de la base en cada lado del perímetro. (P y Q)
   
3. Bisecar los ángulos de la base. Deje que la bisectriz de los dos ángulos se junte en A. Entonces, tenemos un gran triángulo AMN, con la base igual a las unidades X y los ángulos base iguales a P / 2 y Q / 2 respectivamente.

   

4. Ahora, tomando AM como base, dibuje un ángulo igual a P / 2 en el punto A. Dibuje el ángulo, produzca el lado, para cumplir con MN en el punto B.
5. De manera similar, tomando AN como base, dibuje un ángulo igual a Q / 2 en el punto A. Dibuje el ángulo, produzca el lado, para cumplir con MN en el punto C.

   Este triángulo formado ahora, el triángulo ABC, es el triángulo requerido.

   PD: Por favor ignora mi horrible pintura.

Answer 9

Cuando estaba en la escuela secundaria, leí el maravilloso y pequeño libro Flatland de Edwin A. Abbott. La historia está narrada por un cuadrado en un mundo bidimensional que se encuentra con una esfera de la tercera dimensión. Al principio, el cuadrado no puede concebir un mundo con dimensiones más altas, hasta que la esfera usa un razonamiento matemático simple para ayudar al cuadrado a imaginar un cubo. En aras de la claridad, volveré a contar la historia desde el punto de vista de alguien que intenta explicar cómo es un cubo de cuatro dimensiones para nosotros.

Si decimos que un cubo es un cuadrado tridimensional, entonces también podemos imaginar que un cuadrado unidimensional es un segmento de línea y un cuadrado de dimensión cero es un punto. Ahora, podemos contar cuántos puntos se requieren para dibujar cada una de estas figuras:
El patrón es simple: 1, 2, 4, 8, … Por lo tanto, podemos suponer que si hubiera un cubo de cuatro dimensiones, debería estar formado por 16 puntos. De manera similar, podemos contar el número de regiones de límite que encierran cada una de estas figuras:
Aquí, el patrón es 0, 2, 4, 6, … Entonces, deberíamos suponer que si hubiera un cubo de cuatro dimensiones, debería tener 8 cubos que encierran su límite. Este cubo de cuatro dimensiones también se llama hipercubo y tiene muchas representaciones visuales diferentes:
Lo que encontré fascinante es que ningún ser humano ha visto nunca un hipercubo. Sin embargo, la belleza de las matemáticas es que nos permite describir mundos fuera de nuestra experiencia.

Para la narrativa original de Abbott, vea los capítulos 16 y 19 de Flatland , disponibles en línea aquí: Un romance de muchas dimensiones.

Answer 10

Existe una fórmula no recursiva para la serie Fibonacci

En mi segundo año de secundaria, mi amiga Jennifer me presentó a Berkeley Math Circle. Ese mes, Bjorn Poonen dio una charla sobre Secuencias recursivas lineales (por ejemplo, la Secuencia de Fibonacci). [1]

Comenzó a usar el polinomio característico para resolver una recurrencia lineal y, finalmente, terminó con la fórmula de Binet, una fórmula no recursiva para la secuencia de Fibonacci.

[math] F_n = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ left [\ left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n – \ left (\ frac {1 – \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n \ right] [/ math]
o [2]
[math] F_n = \ frac {\ phi ^ n – (- \ phi) ^ {- n}} {\ sqrt {5}} [/ math]

Mi idea de que la secuencia de Fibonacci solo podía expresarse recursivamente se rompió. Me quedé absolutamente impresionado.

Jugué con polinomios, secuencias y la proporción áurea de forma individual, pero nada podría haberme preparado para esto. Este fue un hermoso hilo que conectaba los polinomios, mi secuencia favorita y la proporción áurea.

Leí muchos libros recreativos de matemáticas e hice muchas competiciones de matemáticas antes del año Junior, pero solo entonces me habían introducido en Math Circles.

Ese mes cambió mi vida. Comencé a asistir a los tres círculos de matemáticas alrededor del Área de la Bahía (Stanford, Berkeley, San José). No pude conseguir suficiente.

Cada vez, aprendería algo hermoso. A veces las cosas que me asombraban.

Este fue el primero de muchos. 🙂

---

[1] – Notas de la charla Página en Berkeley
[2] Tenga en cuenta que como resultado directo,
Como señala Anunay en su respuesta!

Answer 11

Que las matemáticas y la naturaleza son inseparables “.

La ” relación dorada “: la proporción dorada (el símbolo es la letra griega “phi” que se muestra a la izquierda) es un número especial aproximadamente igual a 1.618
Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras áreas.

Si divide una línea en dos partes de manera que:

la parte más larga dividida por la parte más pequeña
también es igual a
toda la longitud dividida por la parte más larga

entonces tendrás la proporción áurea .

Este rectángulo se ha hecho usando la Proporción Dorada. Parece un marco típico para una pintura, ¿no es así?
Algunos artistas y arquitectos creen que la proporción de oro hace que la forma más agradable y hermosa.

Muchos edificios y obras de arte tienen la proporción de oro en ellos,
como el Partenón en Grecia, pero en realidad no se sabe si fue diseñado de esa manera.

La proporción de oro es igual a:
1.61803398874989484820… (etc.)

Los dígitos siguen adelante, sin patrón. De hecho, se sabe que la proporción de oro es un número irracional, y le contaré más sobre esto más adelante.

Calculando
Puede calcularlo usted mismo comenzando con cualquier número y siguiendo estos pasos:

• A) divide 1 por tu número (= 1 / número)
• B) añadir 1
• C) ese es tu nuevo número, comienza de nuevo en A

Con una calculadora, simplemente siga presionando “1 / x”, “+”, “1”, “=”, alrededor y alrededor.

Dibujando
Aquí hay una forma de dibujar un rectángulo con la Proporción Dorada:

• Dibuja un cuadrado (de tamaño “1”)
• Coloque un punto a la mitad de un lado
• Dibuja una línea desde ese punto hasta una esquina opuesta (tendrá √5 / 2 de longitud)
• Gira esa línea para que corra a lo largo del lado de la plaza.

Luego puedes extender el cuadrado para que sea un rectángulo con la Proporción Dorada.

La formula
Mirando el rectángulo que acabamos de dibujar, puedes ver que hay una fórmula simple para él. Si un lado es 1 , el otro lado será:
La raíz cuadrada de 5 es aproximadamente 2.236068, por lo que la proporción de oro es aproximadamente (1 + 2.236068) / 2 = 3.236068 / 2 = 1.618034. Esta es una forma fácil de calcularlo cuando lo necesite.
Secuencia Fibonacci
Existe una relación especial entre la proporción de oro y la secuencia de Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…
(El siguiente número se encuentra sumando los dos números anteriores a él).
Y aquí hay una sorpresa: si toma dos Números de Fibonacci sucesivos (uno después del otro) , su proporción es muy cercana a la Proporción Dorada .

Answer 12

La historia del joven Carl Friedrich Gauss citada aquí: Página en Wolfram

En la escuela primaria, el maestro de Gauss instruyó a la clase a sumar los números del 1 al 100 en la pizarra como trabajo ocupado. Mientras el resto de la clase trabajaba, Gauss pensó en el problema por un momento, anotó el número 5050 y lo entregó. Su respuesta fue la única respuesta correcta.

Su pensamiento siguió estas líneas: si combina 1 con 99, tiene 100. Si combina 2 con 98, tiene 100. Partido 3 con 97 y tiene otros 100, y así sucesivamente. Es más fácil contar 100 que sumar los números. El número 100 en sí queda fuera de este patrón, y cuando llegas a 50, 50 tampoco tiene una coincidencia.

Así que la respuesta es:
49 * 100 + 100 + 50 = 5050
Puede generalizar eso a 0.5 * (n) * (n + 1) para n = 100, o
0.5 * (100) * (100 + 1) = 50 * 101 = 5050

Cuando escuché esta historia, me di cuenta de que las matemáticas no se tratan de números. Se trata de resolver problemas de maneras elegantes y hermosas que a menudo le permiten ver el problema desde una perspectiva que nunca antes se le había ocurrido.

Answer 13

Si atas una cuerda alrededor de la Tierra con fuerza (digamos, alrededor del ecuador), entonces la longitud de la cuerda será de alrededor de 40,000 km. Ahora solo agregue 1 metro de cuerda a esa cuerda y si la cuerda adicional se distribuye de manera uniforme alrededor del globo, ¿habrá suficiente espacio entre la cuerda y la superficie de la tierra para que pase una rata debajo o incluso un gusano para arrastrarse debajo?

La respuesta es Sí. Habrá suficiente espacio incluso para que pasen dos ratas (una sobre otra).
Y esa brecha será de alrededor de 16cm.

Curiosamente esta brecha será la misma, si en lugar de la tierra hubiéramos tomado una cuerda de circunferencia de una manzana.
Prueba:
2 * pi * R – 2 * pi * r = 100 cm. (donde R = radio final y r = radio de la tierra)
=> 2 * pi (Rr) = 100cm
=> Rr = = 100 / (2 * pi)
=> espacio = Rr = 15.9cm
y es constante. No depende de la longitud inicial de la cuerda.

Answer 14

Tabla de multiplicar de 9

Me he dado cuenta de que las matemáticas son hermosas más de una vez. Pero como me pide el primer poco de matemáticas que me hizo darme cuenta de que las matemáticas son hermosas, tengo que describir una historia bastante interesante de los días de mi infancia cuando tenía 6 años y de aprender las tablas de multiplicar en la escuela.

Me encantaron los pequeños patrones que surgieron en las tablas de multiplicar. Por ejemplo, me gustó cómo los dígitos de las unidades de cada producto en la tabla de multiplicar de 2 son siempre pares. De hecho, los dígitos de las unidades son 2, 4, 6, 8 y 0, repetidos dos veces.

2 * 1 = 2
2 * 2 = 4
2 * 3 = 6
2 * 4 = 8
2 * 5 = 10
2 * 6 = 12
2 * 7 = 14
2 * 8 = 16
2 * 9 = 18
2 * 10 = 20

Otra tabla que me pareció muy interesante fue la tabla de multiplicar de 5. Los dígitos de las unidades se alternan entre 5 y 0. A partir de la segunda fila, el dígito de las decenas de los productos se incrementa en uno cada dos filas.

5 * 1 = 5
5 * 2 = 10
5 * 3 = 15
5 * 4 = 20
5 * 5 = 25
5 * 6 = 30
5 * 7 = 35
5 * 8 = 40
5 * 9 = 45
5 * 10 = 50

Pero el día en que sentí que las matemáticas son hermosas fue el día en que aprendí la tabla de multiplicar de 9.

9 * 1 = 9
9 * 2 = 18
9 * 3 = 27
9 * 4 = 36
9 * 5 = 45
9 * 6 = 54
9 * 7 = 63
9 * 8 = 72
9 * 9 = 81
9 * 10 = 90

Esta mesa está llena de patrones para un niño de 6 años para jugar.

1. El dígito de las unidades del producto disminuye en uno con cada fila.
2. A partir de la segunda fila, el dígito de las decenas del producto se incrementa en uno con cada fila.
3. De hecho, si reescribimos el primer producto como 09 en lugar de 9, podemos generalizar el resultado en el punto anterior para todas las filas de la tabla.
4. La suma de los dígitos en cada producto es siempre 9.
5. El producto en la 1ª fila se puede obtener intercambiando el dígito de las unidades y el dígito de las decenas del producto en la 10ª fila, y viceversa. Lo mismo ocurre con la segunda fila y la octava fila. Y así hasta la cuarta fila y la quinta fila.
6. El dígito de las unidades de cualquier fila se puede obtener restando el multiplicador de 10.
7. El dígito de las decenas de cualquier fila se puede obtener restando 1 del multiplicador.

De hecho, ahora como adulto, puedo resumir el quinto punto de la siguiente manera: El producto en la fila [math] n [/ math] th puede obtenerse intercambiando el dígito de las unidades y el dígito de las decenas del producto en [math] ( 11 – n) [/ math] th row donde [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] tal que [math] 1 \ leq n \ leq 10 [/ math].

Con el tercer punto (reescribiendo 9 como 09), me di cuenta desde una temprana edad de que los pequeños cambios en la notación pueden hacer que un patrón parezca más generalizado y bello, y también nos ayudan a entender qué está pasando mejor. Tenga en cuenta que este pequeño cambio en la notación también es necesario para generalizar las observaciones en el quinto y séptimo punto para todas las filas.

Estos patrones me llenaron de alegría y curiosidad el día en que me encontré con la tabla de multiplicar de 9.

La identidad de euler

Habiendo descrito la primera parte de las matemáticas que me hicieron darme cuenta de que las matemáticas son hermosas, ahora me tomaré la libertad de describir la parte más hermosa de las matemáticas, lo que me hizo darme cuenta una vez más de lo profunda y profunda que es esta belleza. antes de.

Cuando aprendí sobre la fórmula de Euler, me di cuenta de cómo podríamos establecer la relación profunda e intrincada entre la función exponencial y las funciones trigonométricas usando esta fórmula, para cualquier número real [math] x [/ math],

[math] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ math].

Con [math] x = \ pi [/ math] en la fórmula de Euler, obtenemos, [math] e ^ {i \ pi} = -1 + 0 [/ math]. Esto se puede reescribir como la identidad de Euler de la siguiente manera.

[math] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ math].

Muchos consideran que la identidad de Euler es la identidad más notable porque vincula cinco constantes matemáticas fundamentales:

• [math] 0 [/ math], la identidad aditiva
• [math] 1 [/ math], la identidad multiplicativa.
• [math] \ pi [/ math], la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro
• [math] e [/ math], el límite de [math] \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n [/ math] cuando [math] n [/ math] se acerca al infinito
• [math] i [/ math], la unidad imaginaria

Esta identidad hace que uno se pregunte por qué la base del logaritmo natural ([math] e [/ math]) que se encontró en el estudio de los límites, una constante que se encuentra en el estudio de la geometría euclidiana ([math] \ pi [/ math]) , identidades aditivas y multiplicativas ([math] 0 [/ math] y [math] 1 [/ math]) y un número que casi inventamos para nosotros mismos porque queríamos representar la raíz de [math] x ^ 2 + 1 [/ math] con él ([math] i [/ math]) deben estar relacionados entre sí y encajar perfectamente en una identidad clara. Esto nos hace preguntarnos sobre el misterioso y hermoso universo en el que vivimos.

Answer 15

Me sorprendió la forma en que los resultados en la topología podrían usarse para demostrar un fenómeno no trivial en el mundo real.

1) Teorema del punto fijo de los browers:
Cada función continua de un disco cerrado a sí misma tiene un punto fijo.

Ilustración del mundo real:
Si coloca un mapa de una ciudad en una mesa en esa ciudad, siempre habrá un punto “Usted está aquí” en el mapa que representa exactamente el mismo punto en la ciudad.

2) Teorema de Borsuk-Ulam:
Cada función continua desde el espacio euclídeo de n-esfera a n-dimensional tiene un par de puntos antípodas mapeados en el mismo punto

Ilustración del mundo real:
Siempre habrá dos puntos antípodas (exactamente opuestos) en la superficie de la Tierra con igual temperatura y igual presión atmosférica.

3) Teorema del valor intermedio:
Supongamos que f es una función continua de valor real en un intervalo cerrado [a, b], y c es un número entre f (a) yf (b), entonces existe un número x en [a, b] tal que f ( x) = c.

Ilustración del mundo real:
Siempre existirá un par de puntos antípodas en el ecuador, que tienen la misma temperatura.

4) Teorema de pelota peluda:
No hay un campo tangente continuo en una n-esfera uniforme.

Ilustración del mundo real:
No se puede peinar una bola peluda sin crear un cowlick.

5) Teorema de Stone-Tukey:
Dados n conjuntos mensurables de medida finita en un espacio n-dimensional, es posible dividirlos por la mitad usando un hiperplano n-1 dimensional.

Ilustración del mundo real:
Problema de sándwich:
Dado un trozo de jamón y dos trozos de pan, se puede dividir en dos partes iguales mediante un solo corte.

Answer 16

Tengo 2 historias:
1) Yo era pequeño, probablemente en clase – 3/4 ~ 8/9 años. Yo estaba en la toma de un vertedero y preguntando. Solía ​​hacer eso con bastante frecuencia. Así que ese día me pregunté por los cuadrados de los números. De repente se me ocurrió que 6 * 6 – 5 * 5 = 6 + 5. Me sorprendió, probé algunos números más, fue correcto. Chico, estaba emocionado, corrí hacia mi abuelo y le conté. Dijo que “hay una identidad para eso: a * a – b * b = (a + b) (ab). Me sentí decepcionado, nací tan tarde y alguien más antes que yo lo había descubierto. Sin embargo, me sentía orgulloso. .

2) Probablemente tenía entre 11 y 12 años. Mi papá es ingeniero, así que recordó las matemáticas de la escuela secundaria. Una niña de unos 4-5 años mayor que yo venía a preguntarle algunas dudas. Entonces el problema era la ecuación lineal en un problema de una variable. Algo como esto: “Un gato está persiguiendo a un ratón, está a 30 metros detrás de él, la velocidad del gato es de 4 m / sy la velocidad del ratón es de 3 m / s. ¿En cuánto tiempo el gato lo atrapará? El bloc de notas tenía pequeñas líneas de cuadrícula dibujadas. Entonces asumí que una línea de cuadrícula era de 1 metro y simulé gráficamente la persecución entre el gato y el ratón. Cuando resolví el problema, fui a papá con entusiasmo y le dije: La respuesta. Comprobó y fue correcta. Se sorprendió. No tenía conocimientos de álgebra en ese momento. Me preguntó cómo lo resolví y le dije. Se sintió orgulloso y luego contó esta historia a sus amigos para Años y me sentí bien cada vez.

Answer 17

Oh, no tengo nada tan complicado como el cálculo diferencial o los problemas sigma para ofrecer aquí. Estaba en mi cuarto nivel (alrededor de nueve años de edad); a una edad en que la mayoría de las cosas parecen mágicas y todo lo que parece mágico apela de inmediato.

Simplemente estaba agregando y calculando números aleatorios en una hoja de papel vacía; Sin embargo, no hay nada como John Nash, debo agregar. Y luego, de repente, con un simple cálculo, descubrí algo extremadamente hermoso; algo que me hizo ver lo maravillosas que eran las matemáticas. Tomé este número.

[math] 987654321 [/ math]

Por obvias razones infantiles, decidí que sería divertido restar ese número con esto.

[math] 123456789 [/ math]

A medida que obtuve lentamente la respuesta resultante, quedé absolutamente aturdido. El resultado que obtuve fue:

[math] 864197532 [/ math]

Al principio, parecía bastante sencillo. Pero con una segunda mirada, noté que el número comprendía todos los primeros nueve dígitos sin ninguna repetición. Me quedé desconcertado y desde ese momento, me di cuenta de que las matemáticas tienen una gran magia contenida en ellas.

Answer 18

Una encuesta de lectores realizada por The Mathematical Intelligencer nombró a la identidad de Euler como el “teorema más bello de las matemáticas”. Otra encuesta de lectores realizada por Physics World en 2004 eligió la identidad de Euler vinculada con las ecuaciones de Maxwell como la “mayor ecuación de la historia”.
Paul Nahin (profesor emérito de la Universidad de New Hampshire) escribió un libro completo de matemáticas de 400 páginas, ” Fórmula fabulosa del Dr. Euler” dedicado a la identidad de Euler, en el que escribe que la identidad de Euler establece “el estándar de oro para la belleza matemática”.
“Señales y sistemas que usan MATLAB” Por Luis Chaparro nota al pie página 23
Señales y sistemas utilizando MATLAB Página 23

También ha sido llamado el estándar de oro para la belleza matemática por otros autores como Chris Impey en “Cómo comenzó: una guía del universo para el viajero en el tiempo”, página 323.
& Robert P. Crease en el comienzo del Capítulo 4 en “Las grandes ecuaciones: avances en la ciencia desde Pitágoras a Heisenberg” / “Una breve guía para las grandes ecuaciones”.

Answer 19

Hay muchas cosas que me hicieron darme cuenta de que las matemáticas son hermosas, pero este es mi ejemplo favorito.

Supongamos que desea evaluar integral
[math] I = \ int \ limits_0 ^ \ infty \ dfrac {\ sin x} {x} dx [/ math]
Hay muchas formas de evaluar esta integral, como el teorema integral de Fourier, la transformada de Laplace, etc., pero este es mi favorito.
Reforcemos nuestra integral definiéndola como
[math] I_1 = \ int \ limits_0 ^ \ infty \ dfrac {\ sin kx} {x} dx [/ math]
Entonces, considere
[math] f (a) = \ int \ limits_0 ^ \ infty \ dfrac {e ^ {- ax} \ sin x} {x} dx [/ math], donde [math] a [/ math] es una constante arbitraria . … (1)
Al asumir la validez de la diferenciación bajo el signo integral, se distingue wrt a
[math] f ‘(a) = \ int \ limits_0 ^ \ infty \ dfrac {-xe ^ {- ax} \ sin x} {x} dx = \ int \ limits_0 ^ \ infty -e ^ {- ax} \ sin kx dx [/ math]
Ahora, desde [math] \ int_a ^ bf (x) dx = – \ int_b ^ af (x) dx [/ math],
[math] f ‘(a) = \ int \ limits_ \ infty ^ 0 e ^ {- ax} \ sin kx dx [/ math]
Lo cual puede evaluarse fácilmente usando la fórmula [math] \ int uv dx = u \ int v dx – \ int (\ int v dx) \ dfrac {du} {dx} dx [/ math]
Por lo tanto,
[math] f ‘(a) = \ dfrac {e ^ {- ax} (- a \ sin kx – k \ cos kx)} {k ^ 2 + a ^ 2} | _ \ infty ^ 0 [/ math]
Que, cuando se evalúa, da
[math] f ‘(a) = \ dfrac {-k} {k ^ 2 + a ^ 2} [/ math]
Ahora, integrando wrt [math] a [/ math],
[math] f (a) = – \ arctan (\ dfrac {a} {k}) + c [/ math] Donde [math] c [/ math] es la constante de integración. … (2)
Ahora, poniendo [math] a = \ infty [/ math] en (1),
[math] f (\ infty) = \ int \ limits_0 ^ \ infty \ dfrac {e ^ {- \ infty} \ sin x} {x} dx = \ int \ limits_0 ^ \ infty 0 dx = 0 [/ math] … (3)
Pero, poniendo [math] a = \ infty [/ math] en (2),
[math] f (\ infty) = – \ arctan (\ infty) + c [/ math]… (4)
Por lo tanto, de (3) y (4),
[math] c = \ arctan (\ infty) = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math]
Por lo tanto,
[math] f (a) = – \ arctan (\ dfrac {a} {k}) + \ dfrac {\ pi} {2} [/ math] … (5)
Ahora, ponga [math] a = 0 [/ math] en (1),
[math] f (0) = \ int_0 ^ \ infty \ dfrac {e ^ {0} \ sin kx} {x} dx = \ int_0 ^ \ infty \ dfrac {\ sin kx} {x} dx = I_1 [/ matemáticas] … (6)
Pero, a partir de (5),
[math] f (0) = \ arctan (0) + \ dfrac {\ pi} {2} = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math]… (7)
Por lo tanto, de (6) y (7),
[math] I_1 = \ int_0 ^ \ infty \ dfrac {\ sin kx} {x} dx = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math]
¡Y note, este resultado no depende de [math] k [/ math]!
Ahora, finalmente, volviendo a lo que buscábamos, poniendo [math] k = 1 [/ math] en (1)
[math] \ int_0 ^ \ infty \ dfrac {\ sin x} {x} dx = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math]
¡Pero poner cualquier valor de [math] k [/ math] no cambiará el valor de la integral! Asi que,
[math] \ int_0 ^ \ infty \ dfrac {\ sin 2x} {x} dx = \ int_0 ^ \ infty \ dfrac {\ sin 3x} {x} dx =… = \ dfrac {\ pi} {2} [/ mates]

Answer 20

Tabla de 21:
2 1
4 2
6 3
8 4
10 5
12 6
14 7
16 8
18 9
21 0

como recordé la mesa del 21 … En realidad nunca lo hice
Escribí la tabla de 2 y agregué el número del 1 al 10 al término correspondiente.
Así fue como maté a mi infancia

y otra vez nunca memorizo ​​la fórmula para la suma de números naturales (1 a n) =
n (n + 1) / 2

Cada vez que llegaba en el examen, hacía un poco de trabajo duro. Fue algo como esto-
S = 1 + 2 + 3 + …… + (n-2) + (n-1) + n
S = n + (n-1) + (n-2) + …… + 3 + 2 + 1
———————————- [agregar verticalmente]
2S = (n + 1) + (n + 1) +… + (n + 1) .–> [n veces]
2S = (n + 1) * n
S = (n + 1) * n / 2

Me ayuda mucho porque también funciona en el rango medio (me refiero a que esta fórmula es solo para 1 an …) pero para un rango dado … (digamos de 23 a 95) tenemos que proceder en dos pasos: 1 er cálculo 1 a 23 luego reste esta suma de la suma de 1 a 95.
por ejemplo, suma (23 a 95) = suma (1 a 95) – suma (1 a 23)

pero mi método (arriba mostrado) fue útil en estos casos.
S = 23 + 24 +…. + 94 + 95
S = 95 + 94 +…. + 24 + 23
2S = 118 + 118 +… .. + 118… -> (73 veces)
2S = 118 * 73
S = 118 * 73/2 = 4307.

Answer 21

El triángulo de Morley me encantó a primera vista: alrededor del grado 9 o 10.

Básicamente: para cualquier triángulo arbitrario, las intersecciones de sus trisectores (1/3 divisores de sus ángulos) conformarán un triángulo equilátero, el Triángulo de Morley.

Este teorema podría extenderse mucho más, creando cuadrados, pentágonos por los divisores de ángulo de formas arbitrarias.

Bueno, el triángulo equilátero es como un símbolo de simetría perfecta en el mundo de los triángulos, como el cuadrado entre cuadriláteros, etc.

Para mí en ese momento, la teoría era como una afirmación de que: dentro de cualquier cosa ordinaria, hay una belleza perfecta oculta.

Suena bastante sentimental ahora, pero eso es lo que pensé en ese entonces.

Más información: Teorema del trisector de Morley.

La primera imagen es obra de User: Dbenbenn – Wikimedia Commons, utilizada bajo la licencia de Wikimedia Creative Commons
La segunda imagen es el ítem de dominio público de Wikimedia.