¿Cómo explicaría el principio de incertidumbre la existencia de energía de punto cero en un oscilador armónico?

Answer 1

Sabemos que el Hamiltoniano del oscilador armónico (Energía total, si lo desea) es una extensión del resorte clásico con impulso y posición reemplazados por sus contrapartes de operador mecánico cuántico (básicamente, ponga un sombrero en ellos y tenga en cuenta cómo se desplazan)
Tomemos un oscilador armónico donde la Energía Total no varía con el tiempo.

Asi que,
[math] \ hat {H} \ psi = (\ frac {1} {2m} \ hat {p} ^ {2} + \ frac {1} {2} k \ hat {x} ^ {2}) \ psi = E \ psi [/ math]
Si [math] E [/ math] tomara un valor de [math] 0 [/ math],
[math] \ frac {1} {2m} \ hat {p} ^ {2} = – \ frac {1} {2} k \ hat {x} ^ {2} [/ math]

Eso significaría,
[math] \ frac {1} {2m} \ hat {p} ^ {2} \ hat {x} = – \ frac {1} {2} k \ hat {x} ^ {3} [/ math]
Además, si usamos el operador de posición del lado izquierdo,
[math] \ frac {1} {2m} \ hat {x} \ hat {p} ^ {2} = – \ frac {1} {2} k \ hat {x} ^ {3} [/ math]
Restando los dos anteriores,
[math] \ hat {x} \ hat {p} ^ {2} – \ hat {p} ^ {2} \ hat {x} = 0 [/ math]
Si el principio de incertidumbre fuera verdadero,
[math] \ hat {x} \ hat {p} – \ hat {p} \ hat {x} = i \ hbar [/ math]
O,
[math] \ hat {x} \ hat {p} ^ {2} = \ hat {p} \ hat {x} \ hat {p} + i \ hbar \ hat {p} [/ math]
Sustituyendo esto en lo anterior,
[math] \ hat {p} \ hat {x} \ hat {p} + i \ hbar \ hat {p} – \ hat {p} ^ {2} \ hat {x} = 0 [/ math]
O,
[math] \ hat {p} (\ hat {x} \ hat {p} – \ hat {p} \ hat {x}) + i \ hbar \ hat {p} = 0 [/ math]
O,
[math] 2i \ hbar \ hat {p} = 0 [/ math],
O,
[math] \ hat {p} = 0 [/ math]
Ahora
Si hubiéramos multiplicado la relación inicial con el operador [math] \ hat {p} [/ math] de ritght, luego se fue y luego se restó,
Habríamos tenido
[math] \ hat {p} \ hat {x} ^ {2} – \ hat {x} ^ {2} \ hat {p} = 0 [/ math]
Podemos ver que desde este punto alcanzaremos, con argumentos similares a los anteriores,
[math] \ hat {x} = 0 [/ math]
Por lo tanto, tanto el impulso como la posición se convierten en cero, derrotando el postulado de inicio del principio de incertidumbre que [math] \ hat {x} \ hat {p} – \ hat {p} \ hat {x} = i \ hbar [/ math]
Por lo tanto, tener una energía de cero puntos cero en el oscilador armónico contradice el principio de incertidumbre.