¿Por qué son aleph-null, aleph-1, etc. tan alucinantes?

Answer 1

Los niños están impresionados con el infinito. La capacidad de los números para seguir subiendo indefinidamente es inesperada, en un mundo donde todo lo que puedes contar es finito. Se convierte en un juego desde el principio para triunfar un número con un número más grande. Luego se le dice al niño sobre el “infinito” que triunfa, que no es un número y, sin embargo, de alguna manera gana el juego de números. Y cuando el niño pregunta por qué “infinito más uno” no es más grande que “infinito”, las respuestas rara vez son del todo satisfactorias.

Las paradojas del infinito se remontan hacia atrás, como las paradojas del movimiento de Zenón. Durante milenios, no hubo una respuesta totalmente satisfactoria para Zeno, e incluso ahora que existe, se considera una forma avanzada de matemáticas que la mayoría de las personas no encuentran hasta la universidad. Nunca lo necesitas en la vida cotidiana.

El infinito aparece una y otra vez en la filosofía, a menudo con resultados contradictorios, como en la apuesta de Pascal. Entonces, para la mayoría de las personas, el infinito existe justo al borde de ser comprensible. No está del todo claro lo que significa, y está claro que es importante. Usted apenas puede obtener sus manos alrededor de “infinito”.

Así que la idea de un “infinito más grande” viene como algo de un shock. La demostración de ello es sorprendentemente simple. Podrías patearte por no haberlo descubierto tú mismo, y tu único consuelo es el hecho de que las personas son más inteligentes de lo que no lo has imaginado durante milenios, tampoco. Es como encontrar un rinoceronte no descubierto previamente que vive en su refrigerador.

Te obliga a reconsiderar todas esas cosas que antes habías pensado como “solo infinito”. El cálculo no falla, pero la idea de un “límite” que subyace a él debe ser cuidadosamente pensada. Si le dijera a Pascal que mi no deidad le da placer y castigo a [math] \ aleph_1 [/ math], mientras que su apuesta ofrecía términos meramente [math] \ aleph_0 [/ math], mi infinito triunfa sobre su infinito y he Apenas refutado la existencia de dios. Cosas bastante fuertes.

Answer 2

La gente está asombrada por cosas grandes, como lo demuestra su respuesta a cosas como montañas, galaxias o incluso árboles (estuve aquí ayer: http://www.nps.gov/muwo/index.htm ). Si imaginas cardenales finitos como tamaños de objetos, entonces es natural imaginar a cardenales transfinitos como cosas que son más grandes que cualquier cosa finita. Los humanos ergo que entienden a los cardenales transfinitos están asombrados por ellos.

Answer 3

Como un matemático ateo declarado, no estoy de acuerdo con Keshav. : o)

Realmente no creo que sea necesariamente tener una mentalidad metafísica y sobrenatural para encontrar la contemplación de lo infinito fascinante, incluso “alucinante”, y también para admirar la capacidad de la mente humana para disfrutar de tal contemplación.

Si hay algo milagroso en la capacidad matemática humana, entonces se deriva solo de nuestra naturaleza humana, y no de un dios.

Para mí, la revelación más profunda del trabajo de Cantor sobre las matemáticas de cantidades infinitas es que no hay un solo infinito, como se suponía anteriormente, sino una infinita jerarquía de infinitos, cada uno infinitamente más grande que el anterior. La majestuosidad y la grandeza de esta concepción deberían hacernos a todos maravillarnos del poder de la mente humana. El poder imaginado de las deidades sobrenaturales imaginadas no tiene que entrar en él; de hecho, la subordinación continuada y genuflexiva a estas mitologías de la edad de bronce en algunos sectores de la sociedad simplemente menosprecia y menoscaba nuestro extraordinario ingenio humano, y eso me parece muy triste. Y más que un poco irritante.

Si quieres aprehender una inteligencia que tiene el potencial de contemplar el infinito, no busques una mente divina en algún antiguo libro sagrado; solo mira en un espejo Las mentes humanas tienen ese potencial; si existen o no mentes divinas y también si es una mera especulación.