¿Cuáles son actualmente los problemas abiertos más importantes en matemáticas aplicadas?

Answer 1

No hay un premio equivalente del Instituto de Arcilla, pero respondí una pregunta similar que resumiré aquí en breve:

Tenemos algunos algoritmos tremendamente útiles que funcionan muy bien en problemas físicos de carácter altamente difusivo: el flujo de calor, por ejemplo. A lo largo de los últimos cien años, los investigadores han podido reducir el costo de resolver este tipo de problemas físicos en varios órdenes de magnitud.

En el momento en que intentamos tomar esos algoritmos y aplicarlos a algo que no es difusivo, se rompe y no funciona. Sin embargo, aquí está el truco: eso describe cada uno de los algoritmos avanzados que tenemos actualmente. Todos funcionan muy bien en problemas difusivos, y chupan problemas no difusivos.

Entonces, en el momento en que quiero calcular el efecto de dispersión de una onda que golpea un objeto complejo, no hay una respuesta realmente buena: hay algunos límites fundamentales que requieren que los profesionales dediquen una gran cantidad de esfuerzo computacional para resolver el problema, sin importar. Qué tan avanzado es el algoritmo que le lanzan.

Nadie sabe una buena respuesta de por qué este es el caso. La gente tiene mucha “intuición” detrás, y yo tengo la mía. Todos los que trabajan en la propagación de ondas son conscientes de esta dificultad, pero aún no hay documentos que lo aborden de manera rigurosa porque nadie sabe realmente por qué, y puede probar que su razonamiento es correcto.

Si este problema se resuelve, sospecho que representará un cambio de paradigma en la forma en que vemos los problemas físicos y es muy probable que se requiera una expresión matemática completamente nueva. Lo que tenemos ahora está mal equipado para resolver estos problemas. Sin embargo, las implicaciones de resolverlo son tremendas tanto desde el punto de vista matemático como para las aplicaciones. Ni siquiera necesitaría un premio para la solución de este problema, ya que sería capaz de comercializarlo de inmediato y quien lo haga ganaría millones.

Aquí hay un artículo fascinante que detalla esta frustración por un tipo particular de problema de onda:

Por qué es difícil resolver los problemas de Helmholtz con los métodos iterativos clásicos

Es un documento de 2012, y ni siquiera da razones sustanciales.

EDITAR: Dado que esta respuesta fue popular, pensé que debería reconocer de manera justa a las personas que han hecho grandes avances en la resolución de este problema.

Hasta la fecha, la mejor solución que he visto son los llamados precondicionadores “de barrido” de Engquist, Poulson, et al.

Representación de matriz jerárquica

Este no es el primer artículo de la serie (que comenzó alrededor de 2009, creo), pero es uno de fácil acceso para cualquier persona interesada. Este algoritmo es muy brillante porque explota completamente la física relevante para lograr resultados que generalmente están reservados a problemas dominados por la difusión. Para aquellos más familiarizados con la computación científica, este algoritmo parece muy similar a una técnica de descomposición de Schwarz multiplicativa (en álgebra lineal esto corresponde a una iteración “gauss-seidel”), pero aquí hay algunas ideas clave que lo llevan un poco más allá de lo básico. La interpretación y permite que este algoritmo funcione increíblemente bien, porque créanme, la gente ha tratado de usar gauss-seidel en esto antes y siempre falló.

Los problemas clave que enfrenta este algoritmo es la flexibilidad. Hasta ahora solo se ha aplicado con éxito a geometrías simples (cuadrado, cubo), y su extensión al paralelo no es obvia (aunque Jack Poulson en su tesis dio algunas técnicas muy buenas para hacer que el paralelismo fuera viable con esta técnica).

Answer 2

Realmente no soy un matemático aplicado (solo juego en la televisión), pero en cuanto a un análogo de los Problemas de Clay Millenium, DARPA tiene una lista de 23 problemas matemáticos para el siglo XXI, sobre los que financian activamente la investigación.

http://www.darpa.mil/Our_Work/DS …

Desafío matemático 1: Las matemáticas del cerebro
Desarrolle una teoría matemática para construir un modelo funcional del cerebro que sea matemáticamente consistente y predictivo en lugar de simplemente inspirado en la biología.

Desafío matemático 2: la dinámica de las redes
Desarrolle las matemáticas de alta dimensión necesarias para modelar y predecir con precisión el comportamiento en redes distribuidas a gran escala que evolucionan con el tiempo en la comunicación, la biología y las ciencias sociales.

Desafío matemático 3: captura y aprovechamiento de la estocasticidad en la naturaleza
Abordar el llamado de Mumford a las nuevas matemáticas para el siglo XXI. Desarrollar métodos que capten la persistencia en ambientes estocásticos.

Desafío Matemático 4: Fluidos del siglo XXI
La dinámica de fluidos clásica y la ecuación de Navier-Stokes tuvieron un éxito extraordinario en la obtención de conocimientos cuantitativos de ondas de choque, turbulencia y solitones, pero se necesitan nuevos métodos para abordar fluidos complejos como espumas, suspensiones, geles y cristales líquidos.

Desafío matemático 5: Teoría biológica del campo cuántico
Los métodos cuánticos y estadísticos han tenido un gran éxito modelando la evolución del virus. ¿Se pueden usar tales técnicas para modelar sistemas más complejos como las bacterias? ¿Se pueden utilizar estas técnicas para controlar la evolución de patógenos?

Desafío matemático 6: dualidad computacional
La dualidad en matemáticas ha sido una herramienta profunda para la comprensión teórica. ¿Se puede ampliar para desarrollar técnicas computacionales de principios donde la dualidad y la geometría son la base de algoritmos nuevos?

Desafío matemático 7: la navaja de Occam en muchas dimensiones
A medida que aumenta la recopilación de datos, ¿podemos “hacer más con menos” al encontrar límites más bajos para detectar la complejidad de los sistemas? Esto está relacionado con las preguntas sobre los algoritmos de maximización de entropía.

Desafío matemático 8: Más allá de la optimización convexa
¿Puede el álgebra lineal ser reemplazado por la geometría algebraica de una manera sistemática?

Desafío matemático 9: ¿Cuáles son las consecuencias físicas de la prueba de Perelman del teorema de la geometrización de Thurston?
¿Se pueden aplicar avances teóricos profundos en la comprensión de tres dimensiones para construir y manipular estructuras a través de escalas para fabricar nuevos materiales?

Desafío matemático 10: Origami algorítmico y biología
Cree una teoría matemática más sólida para la inserción isométrica y rígida que pueda dar una idea del plegamiento de proteínas.

Desafío matemático 11: nanoestructuras óptimas
Desarrolle nuevas matemáticas para construir estructuras óptimas globalmente simétricas siguiendo reglas locales simples a través del proceso de autoensamblaje a nanoescala.

Desafío matemático 12: Las matemáticas de la computación cuántica, los algoritmos y el entrelazamiento
En el siglo pasado aprendimos cómo los fenómenos cuánticos dan forma a nuestro mundo. En el próximo siglo necesitamos desarrollar las matemáticas necesarias para controlar el mundo cuántico.

Desafío matemático 13: Creación de una teoría de juegos que escala
¿Qué nuevas matemáticas escalables se necesitan para reemplazar el enfoque tradicional de las ecuaciones en derivadas parciales (PDE) para los juegos diferenciales?

Reto matemático 14: una teoría de la información para la evolución de los virus
¿Puede la teoría de Shannon arrojar luz sobre esta área fundamental de la biología?

Desafío matemático 15: la geometría del espacio genoma
¿Qué noción de distancia se necesita para incorporar utilidad biológica?

Desafío matemático 16: ¿Cuáles son las simetrías y los principios de acción para la biología?
Amplíe nuestra comprensión de las simetrías y los principios de acción en biología a lo largo de las líneas de la termodinámica clásica, para incluir conceptos biológicos importantes como robustez, modularidad, evolvencia y variabilidad.

Desafío matemático 17: Lenguas geométricas y física cuántica
¿Cómo explica el programa de Langlands, que se originó en la teoría de los números y la teoría de la representación, las simetrías fundamentales de la física? ¿Y viceversa?

Desafío matemático 18: Lenguas aritméticas, topología y geometría
¿Cuál es el papel de la teoría de la homotopía en los programas Langlands clásico, geométrico y cuántico?

Desafío matemático 19: resolver la hipótesis de Riemann
El santo grial de la teoría de los números.

Desafío matemático 20: computación a escala
¿Cómo podemos desarrollar asintóticos para un mundo con muchísimos grados de libertad?

Desafío matemático 21: resolver la conjetura de Hodge
Esta conjetura en la geometría algebraica es una metáfora para transformar los cálculos trascendentales en cálculos algebraicos.

Desafío matemático 22: resolver la conjetura de cuidado de los ojos suave en la dimensión 4
¿Cuáles son las implicaciones para el espacio-tiempo y la cosmología? ¿Y podría la respuesta desbloquear el secreto de la “energía oscura”?

Desafío matemático 23: ¿Cuáles son las leyes fundamentales de la biología?
Esta pregunta permanecerá al frente y al centro en los próximos 100 años. Este desafío se coloca en último lugar, ya que encontrar estas leyes, sin duda, requerirá las matemáticas desarrolladas para responder varias de las preguntas enumeradas anteriormente.