Bueno, me gustaría desafiar tu suposición de que las matemáticas en su núcleo son inconsistentes. Diría más bien que nuestros intentos de hacer un sistema de axiomas para las matemáticas conducen a las paradojas con bastante facilidad, de una manera sorprendente.
Y eso solo sucedió cuando empezamos a sentir la necesidad de un solo sistema de axiomas tan general que podría crear una base para el conjunto de las matemáticas con una docena o menos de axiomas.
Algo así como: es realmente un problema al proporcionar una “Teoría de todo” para las matemáticas.
Los matemáticos hicieron geometría y teoría de grupos y trabajaron con números durante muchos siglos y milenios sin ningún problema.
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Los axiomas de Euclides siguen siendo válidos hoy, con solo algunos ajustes menores, axiomas que Euclides dejó de lado.
¿Cuánto de la ciencia griega es válida hoy?
Además, aunque no podemos probar que los axiomas de Peano son consistentes (un sistema simple de axiomas para los números), no creo que nadie espere derivar una contradicción de esos axiomas.
Entonces, lo que causó problemas fue el programa de Hilbert, para crear una sola base unificada para el conjunto de las matemáticas. Y eso fue motivado a su vez por las paradojas de Cantor y las complejidades de la teoría de conjuntos, que a su vez surgieron de la obra de Fourier originalmente, para ver el trabajo práctico sobre flujos de calor en sólidos.
Por lo tanto, es sorprendente que algo tan práctico lleve a matemáticas complejas tan complejas y eventualmente a las paradojas.
¿Eso significa que, por ejemplo, hay algo paradójico en el flujo de calor como tal?
¿O algo paradójico sobre las matemáticas en sí?
¿O es quizás más que ver con cómo los humanos tratan de entender estas cosas?
Algunos matemáticos con los que he discutido esto piensan que las matemáticas son simplemente como una teoría física, que podemos esperar que necesiten ajustes y no es sorprendente que nuestros primeros intentos encuentren inconsistencias hasta que resolvamos cómo hacerlo correctamente.
¿Está bien? Me parece un poco extraño, ¿por qué las matemáticas serían así, puedes entender que la física es así, pero las matemáticas?
Acabo de ver preguntas aquí, y no mucho a modo de respuestas.
Sin embargo, un poco de fondo, es fácil crear un conjunto inconsistente de axiomas. Por ejemplo, simplemente agregue 2 + 2 = 5 a los axiomas de Peano, eso es un sistema inconsistente.
Entonces, no es tan importante como tener un sistema inconsistente de axiomas, y no prueba que “todas las matemáticas son inconsistentes”.
Lo que sucedió es, más bien, que hay algunos axiomas que son inconsistentes en formas sorprendentes, que no se esperaban, especialmente el sistema de Frege.
Y esos axiomas originalmente fueron, según sus creadores, buenos candidatos para un sistema de axiomas para toda la matemática. Pero – obviamente no lo son ya que son inconsistentes.
Luego, Godel demostró que el objetivo de Hilbert de crear un conjunto de axiomas comprobablemente consistentes para toda la matemática nunca podría alcanzarse, o incluso, uno lo suficientemente poderoso como para incluir la aritmética y los axiomas de Peano.
Está muy lejos de decir que las matemáticas en su conjunto son inconsistentes.
Puedes comenzar con sistemas más restringidos de axiomas, no lo suficientemente generales para capturar el conjunto de las matemáticas, pero lo suficientemente poderoso como para contener casi cualquier cosa en la que estén interesados los matemáticos humanos.
Nunca puedes demostrar de manera concluyente que sea consistente, pero crees que sí lo es.
Así que eso es lo que hacen los matemáticos, esa es la idea básica de los sistemas matemáticos como ZF, ZFC, etc.
Por el teorema de incompletitud de Godel, cualquier sistema de axiomas suficientemente poderoso nunca puede capturar todas las matemáticas.
Si lo describió con la claridad suficiente para que quede totalmente claro cómo se prueban los teoremas, entonces, con sus ingeniosos métodos, eso lo deja abierto a los procesos de agregar nuevos axiomas al sistema, que un matemático puede ver que deben ser ciertos, pero que son no incluido en su lista original de axiomas (también lo deja abierto a la posibilidad de agregar las negaciones de esos nuevos axiomas).
Pero luego puede expandir sus sistemas axiomáticos de manera creativa si necesita ir más allá de sus limitaciones.
Entonces, significa que las matemáticas tienen que ser creativas y nunca terminar. Y nunca podemos estar seguros de que sea consistente una vez que alcance un cierto nivel de complejidad y poder.
Pero no tiene por qué ser inconsistente.
¿Quizás lo mismo sea verdad del universo? No lo sé.