Gracias por preguntar. Voy a tratar de dar una idea amplia aquí sin los detalles.
Creo que el primer paso es entender el teorema fundamental del cálculo, que relaciona las integrales y las derivadas en una dimensión. Entonces estás preparado para entender múltiples dimensiones.
Supongamos que estás montando en un coche. Observa el velocímetro a cada momento desde las 12:37 a las 12:40 p. M. Con esa información, puedes averiguar qué tan lejos llegaste durante esos tres minutos. La distancia recorrida es la integral de la velocidad.
Para reafirmar eso, hay una función (desplazamiento) y un intervalo (12:37 PM a 12:40 PM). Si conoce la derivada de la función en el intervalo, la integración le da el cambio en la función en el límite. (Si observa el velocímetro durante los tres minutos, la integración le proporciona la distancia recorrida. El “límite” es solo los dos puntos finales del intervalo).
- ¿Cuáles son algunas de las ideas teóricas que Freeman Dyson imaginó?
- ¿Cuáles son las razones para que el hombre no vaya a Marte?
- ¿Se puede arrancar el espacio-tiempo?
- ¿Cómo un estudiante universitario que es un apasionado de la escritura científica entra en la industria?
- ¿Exactamente qué tan factible es el almacenamiento de ADN en la práctica y cuál es su futuro?
Ahora haremos lo mismo con un derivado vectorial, como la divergencia. Hay una función (el campo eléctrico) y un intervalo (el interior de una caja). Si conoce la divergencia de la función en el intervalo, la integración le proporciona el flujo de la función en el límite. (Si integras la divergencia del campo eléctrico en el interior de la caja, te indica el flujo eléctrico a través de la caja).
Lo que he hecho es repetir el mismo teorema con unas pocas palabras diferentes para que funcione en tres dimensiones. La función va desde el desplazamiento en una dimensión al campo eléctrico en tres dimensiones. Pasamos de examinar la derivada del desplazamiento a examinar la divergencia del campo eléctrico. Pasamos de la integración en un intervalo de tres minutos a la integración en el interior de una caja. Pasamos de aprender sobre el cambio de la función a lo largo del intervalo a aprender sobre el flujo a través de los bordes del cuadro (en ambos casos estamos aprendiendo acerca de la función en el límite del intervalo)
Las dos situaciones que he descrito están cubiertas respectivamente por el “Teorema fundamental del cálculo” y “El teorema de la divergencia”. Esperemos que puedan ver que son muy similares. Es posible entrar en más detalles y hacer que el teorema de la divergencia sea preciso e intuitivo, de la misma manera que el teorema fundamental del cálculo.
El razonamiento es esencialmente el mismo en ambos casos (una derivada en un intervalo le informa sobre la función en el límite) y, de hecho, ambos son solo ejemplos de un resultado más abstracto denominado teorema de Stokes. La idea principal es que si el cálculo puede llevarlo de ida y vuelta entre integrales y derivadas en una dimensión, también puede llevarlo de un lado a otro entre campos vectoriales y derivados vectoriales. Esto es lo que sucede cuando se pasa de la forma diferencial a la integral de las ecuaciones de Maxwell.
de las ecuaciones de Maxwell 
La ecuación diferencial dice que la divergencia es la densidad de carga. El teorema de la divergencia dice que la integración de la divergencia da el flujo. Por lo tanto, la integración de la densidad de carga da el flujo. Esa es la ecuación integral.
Tarda un tiempo en obtener los detalles, traducir las palabras a los símbolos matemáticos y hacer que se sienta intuitivo. Hice esto aprendiendo de libros sobre electricidad y magnetismo. Tengo algunos amigos matemáticos que no creen que sea posible (para todos), y que tienes que aprender geometría diferencial antes de que puedas obtenerla. Supongo que tendrás que elegir qué camino te funciona mejor, pero en última instancia, el objetivo es ver que ir y venir es solo un poco de cálculo.
