La razón es que el logaritmo del número de estados de cadena está creciendo más rápido que linealmente. La condición “de la misma masa acumulada” es por qué no es una paradoja, no dice que dos cadenas tienen menos estados que una sola, sino que si tienes una E de energía y la divides entre dos cadenas, obtienes Menos estados que poniendo la energía en una sola cuerda.
Primero, puede hacer la pregunta puramente matemáticamente: cuando tiene una función f (E), desea comparar f (x) + f (y) con f (x + y) (suponga que f (0) = 0)
f (x) + f (y) f (x + y)?
esto es convexidad
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f (x) + f (y)> f (x + y)
significa que f (x) es convexo hacia abajo en todas partes (segunda derivada negativa).
f (x) + f (y) = f (x + y)
significa f (x) es lineal. mientras
f (x) + f (y) <f (x + y)
significa que la función es convexa en todas partes (segunda derivada positiva). Estas son caracterizaciones equivalentes para funciones continuas que suben desde cero. Un ejemplo de una función convexa abajo es sqrt (x), un ejemplo de una función convexa arriba es exp (x).
Pero el número de estados de dos objetos separados es el producto del número de estados de los dos individualmente, no la suma. Por lo tanto, la función f (x) debe tomarse como el logaritmo del número de estados, de modo que se sume en lugar de multiplicarse. Entonces la pregunta es: ¿el logaritmo del número de estados de cadena en la energía E es convexo hacia arriba o hacia abajo convexo?
Susskind observó que el logaritmo del número de estados de cadena en el nivel de excitación n es convexo. El número de estos estados se encuentra utilizando diferentes operadores de excitación, correspondientes a las diferentes direcciones de oscilación, estos son los operadores L, y dado que son como el número de dimensiones transversales, el número de estados en el nivel n crece exponencialmente. Pero la masa al cuadrado es lo que es lineal en el nivel, de acuerdo con la ley de Regge (o, de manera equivalente, según el propagador de cuerdas), por lo que el número real de estados en la masa M va como exp (c M ^ 2), de modo que El logaritmo es convexo hacia arriba.
Normalmente, la entropía de las cosas es tal que es lineal hasta pequeñas cosas superficiales, por lo que la entropía es extensa, y dividir un material a granel no cuesta la entropía.
Pero la convexidad de la entropía significa que una cadena con alta energía tiene más estados que dos cadenas separadas, por lo que, de manera entrópica, es favorable que las cadenas se unan en una cadena masiva.
Susskind pudo darle a esto una interpretación física: el globo de muchas cuerdas en una es lo que llamamos formar un agujero negro clásico. Esta fue la primera vez que se entendió la interpretación física de las cuerdas: son análogos microscópicos de agujeros negros. Esto, junto con el análisis de ‘tHooft del espacio-tiempo cerca de un agujero negro, fue el comienzo del principio holográfico.
Para los agujeros negros, la entropía también es convexa hacia arriba, porque la entropía es el área, y el área es proporcional al radio al cuadrado, y el radio es proporcional a la masa, por lo que la entropía es M ^ 2, que es convexa hacia arriba . Esto significa que los agujeros negros se fusionan espontáneamente, pero no se dividen espontáneamente en dos.