¿Es posible tener suficientes axiomas lógicos sin la ley del medio excluido?

Answer 1

A2A. Hay algo de confusión en la pregunta. La paradoja de los mentirosos no está directamente relacionada con el medio excluido. Tal vez se esté refiriendo al teorema de incompletitud de Goedel que dice que ningún lenguaje que extienda la aritmética recursiva primitiva puede ser completo, es decir, cada afirmación es demostrable o su negación es demostrable. Esto no está excluido en el medio, lo que simplemente dice que dentro del lenguaje puede probar P o no P, para cada proposición P.

Ahora dos respuestas:

1. Si interpreto sus preguntas como “¿Podemos tener suficientes axiomas matemáticos e integridad?”, La respuesta probablemente sea no, porque creo que sí desea números naturales y algunas formas básicas de razonar sobre ellos. Pero si solo quieres hacer geometría, esto es realmente posible.
2. Si tomo su respuesta literalmente, entonces diría que seguro, en realidad creo que puede hacer mejores Matemáticas si nunca usa el medio excluido. Es un poco como la heroína, una vez que eres adicto a ella, te resulta difícil estar sin ella, aunque en realidad es mejor para ti.

Answer 2

A2A: Se podría argumentar que sin la ley del medio excluido, lo que se desarrolla son las matemáticas (o la probabilidad) en lugar de la lógica. Aun así, creo que se puede hacer un caso fuerte para una lógica de “valores de gris”. Una medida del grado de similitud podría reemplazar el concepto de igualdad o desigualdad. Creo que esto está más cerca de la forma en que funcionan fundamentalmente los cerebros humanos.

A diferencia de la lógica, las matemáticas no están plagadas de paradojas. La ecuación [math] x = \ frac {-1} {x} [/ math] no tiene solución en números reales, y tiene la forma de una declaración auto-referencial que, en lógica, sería rechazada porque puede permitir fácilmente paradoja. En matemáticas no hay paradoja. Simplemente no tiene solución, lo cual no es una opción con la ley del medio excluido. Además, un sistema axiomático diferente (el del campo de los números complejos) permite una solución ([math] i [/ math]).

El ejemplo anterior está tomado de Laws of Form , por G. Spencer-Brown (en el Prólogo a la Primera Edición Americana). Ese libro introduce una lógica que se basa en solo dos axiomas, los cuales pueden considerarse como interpretaciones de la ley del medio excluido. ¡Más tarde permite que se viole la exclusión! Un ejemplo simple es x = no x. Evita la paradoja agregando un axioma de que ninguna función es instantánea. La ecuación es entonces un modelo perfecto para lo que sucede cuando lo implementas en el mundo real: oscila. Un inversor con su salida vinculada a su entrada es un oscilador. En lugar de llamar a la ecuación una paradoja, él llama el valor de x imaginario .

En caso de que no haya contestado la pregunta, mi respuesta es sí .

Answer 3

Abordaré la pregunta principal y no abordaré los detalles de la pregunta.

La pregunta principal es

¿Es posible tener suficientes axiomas lógicos sin la ley del medio excluido?

Sí. La lógica intuicionista no incluye la ley del medio excluido, pero es suficiente para cubrir mucho. Gran parte de las matemáticas no requiere la ley del medio excluido, y los intuicionistas rechazan esa parte de las matemáticas que sí lo requiere.

¿Qué es [math] P \ lor \ neg P [/ math] si no es True? De manera más general, ¿qué otros valores de verdad hay junto a Verdadero ([math] \ top [/ math]) y False ([math] \ bot [/ math])? Hay muchos de ellos.

Fuente: Rieger-Nishimura lattice en Wikimedia.

Compara eso con la red booleana correspondiente

En lógica clásica, [math] P \ lor \ neg P = \ top [/ math], pero en lógica intuicionista, [math] P \ lor \ neg P [/ math] no es [math] \ top [/ math] , pero puede ser un valor de verdad por debajo de [math] \ top [/ math]. Además, en lógica clásica, [math] \ neg \ neg P = P [/ math], pero en lógica intuicionista [math] \ neg \ neg P [/ math] puede ser un valor de verdad por encima de [math] P [/ math ]. Para una declaración genérica [math] P [/ math] todos los valores de verdad infinitos en el diagrama anterior serán diferentes.

En la práctica, un intuicionista no se preocupará por estos valores de verdad. Lo que es realmente importante para un intuicionista es que mostrar [math] P [/ math] requiere una prueba directa de [math] P [/ math]. Para demostrar que [math] \ neg P [/ math] (es decir, [math] P [/ math] es falso), puede probar que la suposición de [math] P [/ math] implica una contradicción. Si puede demostrar que la suposición de que [math] P [/ math] es falsa implica una contradicción, para un intuicionista que solo prueba [math] \ neg \ neg P [/ math]; no prueba [math] P [/ math] en sí.

En otras palabras, si algo no es falso, no es verdad, pero eso no significa que sea verdad.

Answer 4

Como dice Thorsten, la paradoja que usted menciona no está relacionada con la ley del medio excluido. En realidad, no es necesario excluir a la mitad para demostrar que es una paradoja.

Recordemos que para probar que alguna afirmación P es falsa, la forma normal es asumir que es verdadera y luego derivar una contradicción. Esto NO usa la ley del medio excluido, es simplemente la definición de falsedad, incluso (o especialmente) en matemáticas constructivas. (Por otra parte, si suponer que P es falso conduce a una contradicción, entonces no puede deducir que P es verdadero, * que * sería un uso del medio excluido).

Suponiendo que haya entendido lo que acabo de decir, ahora podemos demostrar que su paradoja es de hecho una paradoja, sin usar el medio excluido. También necesitaremos el hecho de que una declaración no puede ser verdadera o falsa, que tampoco está relacionada con el medio excluido.

Denotemos por P la declaración “P es falsa”, y asumamos que P es verdadera. Entonces P es falso (por definición de lo que significa ser verdadero P), lo cual es una contradicción. Por lo tanto, P es falso (utilizando lo que acabo de describir: derivamos una contradicción de la suposición de que P es verdadero). Por lo tanto, P es verdad! (por definición de lo que significa ser verdadero P) que es una contradicción.

Esta paradoja no tiene nada que ver con la ley del medio excluido, tiene que ver con la autorreferencia, por lo que reemplazar la ley del medio excluido con otra cosa no cambiará nada.

Answer 5

En realidad, es la Ley de No Contradicción [math] \ neg (P \ land \ neg P) [/ math] con lo que debes preocuparte. El estudio de la lógica paraconsistente: Wikipedia es el estudio de cómo deshacerse de la Ley de no contradicción para permitir la aparición de verdaderas contradicciones (como la paradoja mentirosa que has mencionado) sin trivializar (explotar) un sistema formal.

Vea también una investigación filosófica más general: Dialetheism (Stanford Encyclopedia of Philosophy).