Si el teorema de Pitágoras define el número real [math] \ sqrt {2} [/ math] exactamente, ¿qué teorema define el número real [math] \ sqrt [3] {2} [/ math]?

Answer 1

El teorema de Pitágoras no define [math] \ sqrt {2} [/ math]; es solo uno de los primeros teoremas conocidos en los que aparecen números irracionales como resultado de una expresión aparentemente racional.

Los griegos antiguos y los egipcios (mucho antes de Pitágoras) sabían que un triángulo de lados 3,4,5 forman un ángulo recto, y hay una gran cantidad de evidencia arqueológica que sugiere que usaron esos triángulos al planificar edificios, pirámides, etc.

Parece que de Pitágoras obtuvimos la primera afirmación documentada del teorema que lleva su nombre, pero es totalmente posible que no haya descubierto la relación, simplemente la escribió en una forma que se conservó el tiempo suficiente para obtener una nombre.

También se sabe que el culto de Pitágoras (y sí, sus seguidores parecían ser un culto) creía que el mundo era racional, y que el universo seguía reglas racionales simples, y que cada cantidad posible era un número entero o una proporción entre dos enteros Se sabe que el culto rechazaba la idea de que [math] \ sqrt {2} [/ math] era irracional, a pesar del hecho de que tenían una prueba geométrica que decía que sí, y uno de ellos fue asesinado por hacer el hecho publico

La representación decimal exacta de [math] \ sqrt {2} [/ math] es desconocida, ya que el número escrito en su totalidad nunca termina. para 1800 AC, los babilonios conocían la aproximación de [math] 1.41421 \ overline {296} [/ math], y para 800BC la matemática india calculó la aproximación de [math] 1.41421 \ overline {56862745098039} [/ math].

Pythagoras descubrió que era irracional (como se mencionó anteriormente) en aproximadamente 600BC.

El récord actual es 137,438,953,444 lugares decimales, calculado por un equipo japonés en 1997.

Si desea el valor exacto de [math] \ sqrt {2} [/ math], use el valor [math] \ sqrt {2} [/ math] – todo lo demás es una aproximación.

De manera similar, no hay un teorema que defina [math] \ sqrt [3] {2} [/ math], los teoremas no definen los números que describieron como relaciones probadas entre números en ciertas situaciones (por ejemplo, los lados de un triángulo rectángulo, el relación de los lados en un triángulo para un ángulo dado).

[math] \ sqrt {2} [/ math] [math], [/ math] [math] \ sqrt [3] {2} [/ math] e incluso [math] [/ math] [math] \ sqrt [ n] {2} [/ math] son ​​(en cierto modo) ni siquiera especialmente especiales: son números irracionales; y la gran mayoría de los números reales son irracionales; de hecho, puede probar que existe una probabilidad cero de elegir un número real aleatorio que sea racional. Lo que hace que esos 3 valores (y muchos más) sean algo especiales es que se sabe que son bealgebraicos (es decir, pueden definirse como las soluciones de ecuaciones algebraicas), pero, por supuesto, hay infinitamente más números reales que son irracionales y no irracionales. algebraico.

Answer 2

La integridad de los números reales. Es fácil mostrar que [math] \ sqrt [n] {2} \ not \ in \ mathbb {Q} [/ math], para enteros [math] n \ ge2 [/ math]. Sin embargo, el conjunto [math] \ mathbb {R} [/ math] contiene los límites de todas las secuencias de Cauchy de números racionales, y puede probar que entre esas secuencias es una que corresponde al número que denotamos por [math] \ sqrt [3] {2} [/ math]. Esto también se aplica a [math] \ sqrt {2} [/ math], ya que el teorema de Pitágoras no define el número, pero hace uso del hecho de que este número existe en [math] \ mathbb {R} [/mates].

Answer 3

Es el teorema sobre el volumen de un cubo con lado [math] s [/ math]

[math] v = s ^ 3 [/ math]

¿Cuál es el lado de un cubo cuyo volumen es dos?

[math] 2 = s ^ 3 [/ math]

[math] s = \ sqrt [3] {2} [/ math]

Answer 4

El teorema de Pitágoras no define [math] \ sqrt {2} [/ math]. Puedes usarlo para este propósito sin embargo.

[math] \ sqrt [3] {2} [/ math] se define por ser la raíz primitiva del polinomio [math] x ^ 3-2 [/ math] o, alternativamente, el único real.

Answer 5

No estoy seguro de que diría que el teorema de Pitágoras “define” [math] \ sqrt 2 [/ math], pero si aceptara ese uso inusual de la idea de definir, probablemente aceptaría el Teorema Fundamental del Álgebra, que establece que cada polinomio de orden [math] n [/ math] tiene [math] n [/ math] raíces, contando la multiplicidad y las raíces complejas.

En particular, dice que el polinomio [math] x ^ 3-2 [/ math] tiene tres raíces, una de las cuales es real, por lo que también podríamos llamarlo [math] \ sqrt [3] {2} [/ mates].

Answer 6

El teorema de Pitágoras usa raíces cuadradas, no las define … y específicamente no menciona la raíz dos o cualquier otro número específico.

Una mejor manera es pensar que la raíz dos es la longitud de un cuadrado cuyo área es 2.

La raíz cúbica de dos es la longitud de un cubo cuyo volumen es 2.