¿La idea de no existencia del número positivo real [math] \ sqrt [3] {2} [/ math] en la línea del número real es un crackpot o un genio?

Answer 1

Absolutamente chiflado, casi con seguridad hablado por alguien que nunca ha construido los números reales, y realmente no sabe lo que son.

Cuando realmente te sientas y definas qué son los “números reales”, puedes demostrar fácilmente que hay un número real que se divide en dos. Pero los crackpots piensan que pueden comenzar a tener los números reales, sin siquiera pensar en ellos. Una forma rigurosa. No en vano, esto lleva a errores.

Actualización: la pregunta ya se ha editado y solicita una prueba rigurosa de la existencia de [math] \ sqrt [3] {2} [/ math]. Tuve una innecesariamente compleja que involucraba secuencias, pero la estoy reemplazando con este argumento, que es mucho más conciso.

Considere el conjunto S de todos los números que cubran a menos de 2:

[math] S = \ {x \ in \ mathbb {R}: x ^ 3 <2 \} [/ math].

S ciertamente está delimitado arriba, por ejemplo por 2. Entonces, por la integridad de los reales, S tiene un supremo, que llamaremos a . Yo reclamo que cubos a 2.

¿Por qué es esto? Bueno, si [math] a ^ 3 <2 [/ math], entonces podríamos encontrar un número mayor [math] a + \ epsilon [/ math] que aún cubra a menos de 2. Entonces a no sería un límite superior .

Y si [math] a ^ 3> 2 [/ math], entonces podríamos encontrar un número menor [math] a- \ epsilon [/ math] que aún cubra a más de 2. Ese número aún sería un límite superior en S, por lo que un no sería el límite inferior más pequeño, es decir, no sería un supremo.

Como a es el supremo, no podemos tener [math] a ^ 3 2 [/ math]. Entonces concluimos que [math] a ^ 3 = 2 [/ math].

Si este tipo de cosas le interesan, considere tomar un curso en análisis real. La comprensión moderna de los números reales es profunda y hermosa.

Answer 2

Bueno, la raíz cúbica de dos es * aproximadamente * 1.25992104989 – pero, como pi y e, es un número trascendental. Su valor continúa para siempre.

Entonces, la pregunta es (más generalmente) si los números trascendentales se consideran parte de “la recta numérica real” … que normalmente se define como “el conjunto de todos los números reales” y la raíz cúbica de 2 se considera un verdadero número. Entonces, los matemáticos dirían que de las definiciones estándar de las palabras “trascendental”, “real” y “línea numérica”, este número * definitivamente * pertenece a esa línea.

Bueno, pero cosas como “la recta numérica real” están definidas por un conjunto de convenciones acordadas, y por lo tanto no es una cuestión de “genio” cambiar esa definición … solo haría que sea más difícil entender lo que estamos hablando.

Pero si quisieras encontrar la “línea de foobar” que eliges definir como “el conjunto de todos los números reales que NO son trascendentales”, entonces tienes un nuevo concepto (al menos, supongo que es nuevo – algún matemático es posible que en algún lugar ya haya surgido una definición como esa). Ya tenemos “la línea del número hiperreal” y “la línea del número entero” … entonces, ¿por qué no esta nueva línea?

Hasta ahora, no ha aparecido ningún “genio” … pero tampoco “crackpot”.

La gran pregunta es si “la línea de foobar” proporciona nuevos conocimientos sobre las matemáticas. ¿Nos ayuda a entender algunos de los problemas de la teoría de números? ¿Nos ayudará a hacer computadoras más rápidas? ¿Entiendes la naturaleza de la materia oscura? Bueno, ahí es donde entra la parte del “genio”. Si puedes hacer un pensamiento matemático serio y difícil acerca de la línea de foobar … y descubrir cosas que nadie sabe todavía … y publicar artículos en revistas de matemáticas aprendidas que hacen que otros matemáticos caigan a tus pies. alabanza … entonces sí, tal vez sea una idea “genial”.

Pero si solo está diciendo que no cree que los números trascendentales pertenezcan al conjunto de números reales, entonces “crackpot” definitivamente se aplica porque solo está discutiendo sobre un conjunto de definiciones arbitrarias de términos matemáticos que son “verdaderos” porque están definidos de esa manera … e intentar darles nuevas definiciones es simplemente confuso y de ninguna manera útil.

Conclusión: si puede obtener algo nuevo y útil a partir del concepto de “el conjunto de todos los números reales no trascendentales” y producir nuevas matemáticas a partir de él … entonces tal vez “genio”. Si de alguna manera simplemente te resulta difícil que los “números trascendentales” sean “números reales” … ¡entonces “crackpot” no sería un término demasiado fuerte!

Answer 3

No estoy del todo seguro de lo que esta pregunta está haciendo …

La raíz cúbica de 2 es imposible de determinar en la geometría clásica (geometría que se puede realizar con una regla y una brújula). Esto se debe a que toda la geometría de la regla y la brújula se reduce a ecuaciones lineales y cuadráticas; Las raíces cúbicas están fuera de la mesa. Esto no significa que las raíces cúbicas no existan, solo que no se pueden calcular algebraicamente en la geometría clásica.

El hecho de que uno no pueda conducir un automóvil de lado no significa que ‘de lado’ no exista; simplemente significa que los automóviles están limitados de tal manera que no pueden conducir de esa manera. La geometría clásica es igualmente limitada.

Esto no es ni crackpot ni genio. Es una apreciación de las limitaciones del contexto de un modo particular de cálculo.

Answer 4

Bueno, es un número irracional, con una representación decimal que continúa para siempre.

Eso también significa que no puedes construirlo geométricamente.

Ahora puede hacerlo topológicamente: tome dos litros de agua, construya un cubo a su alrededor, el lado del cubo es la raíz cúbica de dos.

Pero para responder a su pregunta, puede limitar su lugar en la recta numérica a cualquier pequeña tolerancia que desee. No puede hacerlo exactamente bien, pero puede hacerlo tan cerca como quiera, mil millones de billones de lugares decimales si lo desea, una mil millonésima parte de un átomo de hidrógeno si lo desea, sin ningún problema. Simplemente no puedes golpearlo exactamente. Así que es más una cuestión metafísica que matemática. Ver:

¿Qué significa “existencia” en las matemáticas?

Answer 5

Solo puedo decir que probé ante la clase y el profesor (de análisis numérico de posgrado), a petición suya, que en general es una pregunta irracional. Luego solo hizo una pregunta: “¿el profesor de la oficina que estaba al lado de él me hizo esto?”. En mi opinión, en el mejor de los casos es una idea irracional y consumirá las vidas de muchos matemáticos.