¿Son las paradojas consecuencias del sistema lógico adoptado? En el sentido de; Cambiando la estructura de la lógica adoptada (o axiomas) podemos evitarlos.

Answer 1

Esta pregunta es muy difícil de responder porque hay muchas paradojas y todas ellas son estructuralmente diferentes.

Cuando observamos paradojas específicas, si a menudo es cierto, podemos evitarlas cambiando los axiomas de una lógica.

Por ejemplo, en la teoría de conjuntos clásica (“ingenua”), para cada predicado, hay un conjunto de elementos que cumplen con este predicado. Esto lleva a la antinomia de Russel porque ahora podemos ver el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen y derivan una contradicción.
Esto se puede evitar omitiendo el requisito de que haya un conjunto para cada predicado y en su lugar, se establecen requisitos más estrictos para que algo sea un conjunto (como se hace en ZFC).

Sin embargo, no sabemos si se pueden evitar las paradojas para cada lógica y cada paradoja. El problema es que ciertas clases de lógicas no pueden probar su propia consistencia y esto debería hacerse para mostrar la ausencia de paradojas.
A menudo, puede probar la consistencia en una lógica más fuerte, pero al hacerlo, solo está transformando el mismo problema en la nueva lógica.

Answer 2

Una paradoja puede resultar de no seguir las reglas de un sistema lógico o de una falla intrínseca del sistema. En este último caso, una paradoja indica que el sistema no es autoconsistente. Las paradojas eran inevitables en los primeros sistemas. Los sistemas modernos los evitan siempre que se sigan las reglas, pero estos también prohíben muchas declaraciones que nos gustaría permitir. Por ejemplo, la famosa afirmación de Descartes “Cogito ergo sum” (creo que, por lo tanto, lo soy) está prohibida en la mayoría de los sistemas formales modernos porque es autorreferencial. La autorreferencia generalmente está prohibida para evitar paradojas (comenzando, creo, con los Principia Mathematica de Russell y Whitehead).

Un ejemplo de un sistema que permite la autorreferencia es las Leyes de la Forma de G. Spencer-Brown, pero este también permite y acepta la paradoja como una forma válida, comparable a los números imaginarios en que las declaraciones paradójicas a veces se pueden combinar para producir una declaración verdadera.

Edit: Mi respuesta es incompleta. Quise mencionar que no se puede usar ningún sistema formal para demostrar su propia autoconsistencia, un hecho que Kurt Gödel probó inteligentemente en sus dos “teoremas de integridad”. Eso no significa que ningún sistema pueda ser autoconsistente, ni siquiera que su integridad no se puede probar, sino solo que tal prueba debe formarse fuera de las restricciones del sistema.

Answer 3

Creo que las otras respuestas están siendo demasiado complicadas.

Las paradojas se pueden resolver en un sistema coherente, y las soluciones incoherentes no son lo que alguien debería considerar.

La solución general que encontré puede encontrarse aquí: la respuesta de Nathan Coppedge a ¿Cuál es un método general para resolver todas las paradojas?

Básicamente, las paradojas pueden definirse como irracionalidad formal y, por lo tanto, constituyen una extensión de la coherencia para casos contradictorios. Las declaraciones incoherentes, por otra parte, no son verdaderas con la misma calificación que las declaraciones coherentes, porque siempre existe la posibilidad de que sean refutadas sin calificación.

A mi entender, una paradoja es siempre incoherente a menos que sea una pura contradicción, pero siempre forma una declaración coherente cuando se combina con su solución. Si el problema o la solución es más una solución, es una cuestión de perspectiva, ya que en un universo diferente, los problemas pueden parecer una forma de preservar la indeterminación y la fascinación de la vida. La perspectiva en nuestro mundo es que la determinación y la claridad son deseables, pero eso no es universal. En el otro universo, los problemas son soluciones, y en este mundo, los problemas son problemas.

No hay alternativas a estos dos mundos sin contradicción, o sin referirse a temas diferentes. Estos también son mundos donde las soluciones son problemas o donde las soluciones son soluciones respectivamente. Sin embargo, las soluciones no pueden ser soluciones mientras que las soluciones son problemas y siguen siendo significativas, por lo tanto, estos son los dos mundos y la alternativa es la contradicción. La solución a las paradojas se traduce entre los dos mundos, sin contradicción coherente, ya que ninguna paradoja es coherente sin ser universal. Pero todavía es justo descartar esta estrategia como un formalismo. Considero que eso es contraproducente.

Por supuesto, todos los formalismos están abiertos a la crítica. Simplemente creo que es la mejor solución universal disponible para las paradojas.