La clave para resolver esta cuestión es el principio de conservación de la energía. En general, nuestro Sistema Solar (+ las sondas) conserva la energía total, sin embargo, se permite la transferencia de energía entre las partes. Dado que el cambio es un juego de suma cero, la energía ganada por una parte es exactamente igual a la energía perdida por las otras partes. El problema en cuestión involucra 3 cuerpos esenciales: el Sol, Júpiter y una sonda. El cálculo de la dinámica de tal sistema no es trivial por decir lo menos (vea el problema de los Tres Cuerpos), sin embargo, con consideraciones de energía, podemos separar el problema en 3 pares independientes: sonda-Júpiter, sonda-Sol y Júpiter-Sol . Para conveniencia de los cálculos, estaremos agrupando la energía cinética de Júpiter y Sol en el par Júpiter-Sol, y la energía cinética de la sonda con el par sonda-Júpiter.
Para resolver este problema, consideraremos dos estados: comenzamos cuando la sonda está en la órbita de Júpiter (5.2 AU desde el Sol), y terminamos cuando la sonda está en “infinito”. Como una aproximación simplificadora, asumiremos que la sonda tiene suficiente energía cinética para alcanzar la órbita de Júpiter, si Júpiter no estaba allí. Entonces, cualquier velocidad que tenga la sonda en el estado de inicio se debe enteramente al pozo gravitacional de Júpiter. También supondremos que la asistencia de gravedad le da a la sonda la energía cinética suficiente para escapar del sistema solar, por lo que su velocidad en el estado final se aproxima a cero. Estas aproximaciones, que son sorprendentemente precisas, nos permiten ignorar por completo el par sonda-Júpiter, ya que su energía es igual a cero tanto en el estado inicial como en el estado final. Esto nos deja dos pares relevantes: sonda-Sol y Júpiter-Sol, donde la ganancia de energía del primero debe ser igual a la pérdida de este último. Ahora calcularemos exactamente cuánta energía se transfirió (dE).
La física newtoniana nos brinda una ecuación simple de la energía requerida para escapar del pozo gravitatorio del Sol en la órbita de Júpiter. Esta es la cantidad de energía que necesitaremos transferir al sistema de sonda-sol:
dE = G * M_s * m_p / R_j
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Donde: G = la constante gravitacional (= 6.67408 × 10 ^ -11 m ^ 3 kg ^ -1 s ^ -2)
M_s = la masa del Sol (= 1.989 × 10 ^ 30 kg)
m_p = la masa total de las sondas (TBD)
R _j = distancia promedio de Júpiter al Sol (= 7.78 × 10 ^ 11 m)
Lo que resulta ser: dE = m_p × 1.7 × 10 ^ 8 J / kg, o más de cien millones de Joules de energía (o 40 kg de TNT) por cada kilogramo de masa de sonda.
Ahora, la órbita de Júpiter no es un círculo perfecto, sino una elipse muy circular (con una excentricidad de 0.048498). Dependiendo de cómo se hacen las asistencias, es muy probable que aumente ligeramente la excentricidad. Sin embargo, resulta que para calcular la energía orbital específica de un cuerpo, podemos ignorar la excentricidad, si consideramos que el radio orbital es el eje semi mayor (consulte Ejes semi mayor y menor menor).
E_orbit = -G * M_s * M_j / (2a)
Donde: a = eje semi mayor de Júpiter (= R_j = 7.78 × 10 ^ 11 m)
M_j = masa de Júpiter (1.8986 × 10 ^ 27 kg)
Los otros parámetros ya están definidos anteriormente. Note el signo menos, ya que todas las órbitas tienen energía negativa. Y cuando disminuimos E_orbit por dE, el eje semi-mayor (a) disminuirá necesariamente, ya que todos los demás parámetros permanecen sin cambios.
Al diferenciar E_orbit, podemos calcular cómo los pequeños cambios en la energía (dE_orbit) cambiarán el semieje mayor de la órbita (da) :
dE_orbit / da = G * M_s * M_j / (2 * a ^ 2)
Finalmente, estableceremos dE_orbit = dE, a partir de nuestro cálculo anterior:
da = 2 * a ^ 2 * dE_orbit / (G * M_s * M_j) = dE_orbit * 4.8 × 10 ^ -24 m = m_p * 8.2 × 10 ^ -16 m
Entonces, por cada kilogramo de sonda, la órbita de Júpiter se reduce un poco menos que un femtómetro, o aproximadamente el radio de carga de un protón.
Tomar la Lista de objetos artificiales que salen del Sistema Solar con una masa acumulada de aproximadamente m_p = 2500 kg, que nos da da = 2 × 10 ^ -12 m, o dos Picómetros. Otras sondas espaciales tendrán un efecto mucho menor, pero incluso si aumentamos la masa total de la sonda ( m_p ) en un factor 10, la diferencia en la órbita de Júpiter seguirá siendo menor que el tamaño de un átomo.
Como nota final, agregaré que, sin embargo, se cree que la órbita de Júpiter se ha visto afectada significativamente por la dispersión de grandes cantidades de asteroides, que fueron abundantes hace miles de millones de años, durante la formación de nuestro Sistema Solar Solar. Sin embargo, la investigación sobre esto todavía está en curso.