¿Cuál es el punto que la infinita paradoja hotelera de Hilbert está tratando de hacer? ¿Por qué incluso se considera una paradoja?

Answer 1

El Gran Hotel de Hilbert es en realidad una demostración de cómo el significado de conceptos como “tamaño” y “completo” (o “completo”) debe aplicarse de manera diferente a los conjuntos infinitos, que a los finitos. Es una paradoja si, y solo si , no puede aceptar las propiedades necesarias de conjuntos infinitos que cambian estos conceptos.

Probablemente aprendió estos conceptos, y los aceptó como verdades absolutas, en el jardín de infantes. Así que me parece útil explicarlos como si fueran para niños de kindergarten. (Por favor, no se ofenda; mi punto no es para menospreciar, es que funciona en este nivel más básico): ¿Hay más niños o niñas en su clase de kindergarten? Podrías averiguarlo contando los chicos y las chicas. Hay más de lo que cuente es mayor. Pero, ¿y si no puedes contar tan alto? Todavía se puede decir. Solo alinee a los niños y las niñas, y haga que cada niño se tome de las manos de una niña. Cualquiera que sea la línea que tenga hijos, tiene más niños en ella.

Pero ¿y si tu clase es infinita? Esta palabra tiene dos significados diferentes, y la gente a menudo los confunde. Uno es “el número más grande que jamás hayas podido imaginar”. Esa es, de hecho, una paradoja con la que los niños de kindergarten a menudo juegan, ya que si piensas en tal número, Suzy Know-It-All solo agregará 1 para obtener un número mayor. Pero los matemáticos adultos lo usan para el concepto de “siempre crecer”, para ver si hay propiedades que dejan de crecer y se acercan a un límite. Esto se denomina “infinito potencial”. Un ejemplo es si intento caminar hacia ti, pero cada paso que tomo cubre solo la mitad de la distancia restante. No hay un “último paso” en este proceso, por lo que nunca te alcanzaré de esta manera. Pero me acercaré a la distancia que puedas nombrar, incluso el nombre de Suzy Know-It-All después de nombrar uno.

Pero un hombre famoso llamado Zeno señaló que necesitamos otro tipo de infinito: supongamos que, en lugar de dar cada vez más pasos, ando en mi bicicleta a una velocidad constante. Pasaré todos y cada uno de los pasos que describí anteriormente, Y TE LLEGARÉ. Esto parece ser una paradoja: si no hay un “último paso”, ¿cómo puedo pasar cada paso?

Algunos, pero no todos, los matemáticos adultos aceptan que puedes tener un conjunto infinito completo de esta manera, sin poder realizar la acción que lo completa. Algunos llaman a esto “infinito real”, pero no me gusta ese término porque parece implicar algo que existe en el mundo real. Lo llamo “infinito completado”. Es un concepto abstracto de algo que realmente “no existe”, pero debe aceptarse como completo, al igual que el conjunto de pasos que pasaste en tu bicicleta. Y hay muchos ejemplos que utilizamos. El conjunto de números naturales es uno, al igual que el conjunto de habitaciones en el Hotel Hilbert. Y el conjunto de niños en tu infinita clase de jardín de infantes.

Si acepta que dichos conjuntos pueden existir, entonces obtiene algunas propiedades inesperadas. Una es que puedo hacer que todos los niños se tomen de la mano de una niña y que no queden niños o niñas (o el Hotel de Hilbert está lleno). Puedo hacer que todos los niños se salten a una chica cuando elijan a su pareja, y que (aparentemente) la mitad de las chicas se queden (o que pongan a un invitado en cualquier otra habitación, así que la mitad está vacía). Puedo omitir a los niños de la misma manera y dejar a la mitad de los niños (o desalojar a todos los invitados en una habitación de número impar, y trasladar a cada persona de la habitación 2N a la habitación N).

O, si una nueva chica se une a la clase, solo puedo cambiar la posición de la mano, como el hotel de Hilbert. El punto es que si acepta “infinito completado”, estas son propiedades requeridas que puede deducir, y no paradojas en absoluto. Las únicas paradojas vienen si te niegas a aceptar el “infinito completado”. Ya que cada viaje en bicicleta que puedes hacer puede expresarse como una secuencia infinita de mitades, si esa secuencia no se puede completar, entonces nunca puedes llegar a ninguna parte en tu bicicleta. .

Answer 2

Creo que la paradoja de Hilbert del Gran Hotel se presenta como una justificación chistosa para la noción de que un conjunto infinito [math] X [/ math] es solo uno para el cual existe un subconjunto adecuado [math] S [/ math] de [ math] X [/ math] y un mapeo biyectivo [math] f: X \ to S [/ math].

En el caso del hotel infinito de Hilbert, todas las habitaciones están ocupadas, los ocupantes de todas las habitaciones se envían a la siguiente habitación para desocupar la primera habitación para un nuevo huésped: el conjunto infinito [math] X [/ math] se establece en las habitaciones en el hotel, el subconjunto [math] S [/ math] son ​​todas las habitaciones menos la primera, y la función [math] f [/ math] es un cambio de cada habitación a la siguiente. (Realmente no sé o me importa si es una paradoja por algún significado técnico oscuro del término).

Prefiero comenzar definiendo conjuntos que son finitos (sin referencia a ningún conjunto de números), y luego definiendo infinito como simplemente la negación finita. Google “un paseo por un pueblo finito”.

Answer 3

Es una paradoja. Debido a los defectos fundamentales fatales en la ciencia y las matemáticas relacionadas con el presente “potencial infinito-infinito real” clásico clásico, las personas no han sabido qué hacer cada vez que enfrentan algunos problemas y casos básicos, concretos, “infinitos, infinitos, grandes, cuantitativos “. De hecho, las siguientes 8 preguntas inevitables de conocimiento cuantitativo y enigmas en la teoría de conjuntos nos han desafiado y nos han molestado como humanos desde la época de Cantor:

1.

¿La definición de cada “conjunto infinito” se relaciona estrechamente con “la naturaleza, apariencia e interrelación de los elementos”, las mismas características de los elementos dentro del mismo “conjunto infinito”?

2.

Si no lo hace en absoluto y los elementos en todos los conjuntos infinitos diferentes son lo mismo que un montón de “cosas abstractas infinitas sin ninguna diferencia y relación”, entonces, ¿cómo podemos definir y distinguir “conjunto infinito diferente” y cómo podemos creer que hay ¿Pueden existir diferencias de cantidad entre “diferentes conjuntos infinitos”?

3.

Si lo hace y los elementos en todos los conjuntos infinitos diferentes son “los portadores concretos del ‘ concepto infinito abstracto ‘ con diferencias y relaciones” (características únicas), entonces, ¿cómo estas características únicas decidirán las diferencias de cantidad entre “diferentes conjuntos infinitos”?

4.

¿Son “conjuntos infinitos” en la teoría de conjuntos actual “conjuntos infinitos reales” o “conjuntos infinitos potenciales”?

5.

¿Los elementos infinitos en conjuntos infinitos son “muchos infinitos reales” o “muchos infinitos potenciales”? Si son “muchos infinitos reales”, ¿cómo podemos conducirles las cogniciones cuantitativas? y si son “infinitos potenciales”, ¿cómo podemos llevarles las cogniciones cuantitativas?

6.

¿Qué tipo de herramienta matemática de “correspondencia uno a uno” es? Cuando conducimos las cogniciones cuantitativas a diferentes conjuntos infinitos con la herramienta de “correspondencia uno a uno”, es “un elemento correspondiente a un elemento” o “muchos elementos correspondientes a un elemento” o “muchos elementos correspondientes a muchos elementos”, ¿Es “muchos elementos infinitos potenciales que corresponden a muchos elementos infinitos potenciales” o “muchos elementos infinitos reales que corresponden a muchos elementos infinitos reales” o “muchos elementos infinitos potenciales que corresponden a muchos elementos infinitos reales”?

7.

¿Cómo podemos definir “infinito” y “finito” si estamos de acuerdo con la idea y las operaciones en las pruebas de Cantor de que muchos conjuntos infinitos en matemáticas realmente pueden ser probados (convertidos en) conjuntos finitos, los elementos en un conjunto de números reales nunca son -están terminados, son infinitos, ilimitados y son realmente infinitos, mientras que aquellos en el conjunto natural de números son seguros-terminados, limitados y en realidad son finitos.

8.

¿Qué tipo de herramienta matemática de la “teoría del límite” es? Cuando conducimos las cogniciones cuantitativas a diferentes conjuntos infinitos, ¿cómo podemos usar la teoría del límite para analizar, manifestar y tratar las formas numéricas de los elementos X—> 0 dentro de ellos (como las formas numéricas de los elementos X—> 0 en [0, 1] conjunto de números reales)?

Answer 4

En primer lugar, hay diferentes versiones de Hilbert’s Hotel y encontré algunas de ellas durante mis cursos hasta ahora.

El mensaje central, al menos lo que mis profesores querían transmitir con él, era que no solo existe el infinito, sino que existen diferentes tipos de infinito.

Una de las muchas versiones comienza con el hotel que tiene infinitas habitaciones que están reservadas, ¿verdad? Así que la habitación 1 está reservada, la habitación 2 está reservada, y así sucesivamente … Entonces, más específicamente, en este caso tenemos infinitamente innumerables habitaciones, todas reservadas.

Esto es importante, porque la solución para los nuevos invitados en este caso es simplemente trasladar a cada invitado de la sala [math] n [/ math] a la sala [math] n + 1 [/ math].

Este ejemplo en sí ya muestra que incluso podemos ir “más allá del infinito” porque solo aumentamos el infinito y lo hicimos más grande que el original.

Ahora hay ejemplos en los que no solo llega un invitado, sino que son infinitos, e incluso un número infinito de autobuses llenan a un número infinito de invitados.

Pero, ¿qué pasa si no hay innumerables habitaciones infinitamente sino infinitamente infinitas ?

Si bien la primera versión podría estar relacionada con los números naturales que van por 1,2,3, … un ejemplo para los últimos serían los números reales. Esos, como su nombre indica, no se pueden contar porque no hay un sucesor definido para 1 o incluso 0. En relación con esto, las habitaciones significarían que no solo hay un número infinito de habitaciones, sino solo entre la habitación 1 y la habitación 2. ¡De nuevo son infinitas las habitaciones!

Entonces, aparte de los tipos más comunes de infinito [math] – \ infty [/ math] para ir a los negativos que comienzan con 0 y [math] + \ infty [/ math] para el mismo, pero para los positivos también tenemos diferentes “tamaños” del infinito. Tanto el conjunto de números naturales [math] \ mathbb {N} [/ math] como el conjunto de números racionales [math] \ mathbb {R} [/ math] son ​​infinitamente grandes, pero uno es “simplemente” contable infinitamente y el otro es infinitamente infinito .

Answer 5

La paradoja del Gran Hotel de Hilbert no es exactamente lo que entendemos por una paradoja en el sentido formal, aunque no vale la pena debatir ese punto. está más cerca de una explicación de los principios contraintuitivos del concepto de infinito. El resultado es que el concepto matemático de “infinito” es diferente del concepto de lenguaje natural de “todos”. “Todo” es un término exhaustivo en el sentido de que agota todas las posibilidades; ‘infinito’ no lo es. Por lo tanto, si tenemos un número infinito de habitaciones en un hotel y todas están ocupadas, aún podemos agregar más huéspedes, incluso infinitamente más, porque nunca podemos agotar (tener) todo el infinito.

Me resulta más fácil ver el problema si revertimos el efecto con la misma lógica. Si tenemos un hotel con infinitas habitaciones, y todas están ocupadas, podemos tener la cantidad de huéspedes que deseamos, incluso el infinito, y el hotel todavía estará lleno. De hecho, la única forma de que el hotel esté menos lleno, es que todos los huéspedes se retiren para que el hotel esté completamente vacío. Luego podemos hacer que un número finito de huéspedes vuelva a registrarse para que nuestro hotel esté solo parcialmente lleno. Pero luego tenemos otro aspecto peculiar del problema: no importa cuántos huéspedes tengamos que volver a registrarse, nuestro hotel continuará solo parcialmente lleno. Frío incluso tenemos un número infinito de huéspedes, y el hotel aún estaría parcialmente lleno (por ejemplo, si tuviéramos un número infinito de huéspedes se registrara y los pusiera solo en las habitaciones impares).

Hablando filosóficamente (en lugar de matemáticamente), esto apunta a la idea de que el concepto ‘todo’ estipula una inclusión exhaustiva, mientras que el concepto de ‘infinito’ está más cerca de la frase ‘se extiende más allá de toda vista’. Es la diferencia entre un delimitador estricto (que contiene todo lo que está dentro de él) y un horizonte (que cambia y gira con nuestra perspectiva). Es fácil confundir un horizonte con un delimitador, por eso la gente solía pensar que el mundo era plano, pero son conceptos analíticamente diferentes.

Answer 6

Es una paradoja porque a pesar de que cada habitación está ocupada, pueden caber más huéspedes. Además, todos los huéspedes pueden pagar $ 1 por día y obtener toneladas de servicios mientras el hotel gana dinero. Y muchos otros.

El punto que está tratando de hacer es que el infinito es muy poco intuitivo, pero no completamente imposible de manejar.

Answer 7

Hay una paradoja (aparente) peor en la Miscelánea de Littlewood. Cada noche, llegan dos huéspedes y se colocan en las habitaciones nunca ocupadas con el número más bajo (el Hotel Infinity no necesita una mucama). Cada mañana, el huésped en la habitación ocupada con el número más bajo se va.

El resultado limitante es que, aunque cada día aumenta el número de invitados, ¡al final , obviamente, una habitación determinada está desocupada!

Answer 8

No es realmente una paradoja, es simplemente no intuitivo. El punto que señala es que no se puede confiar en la intuición cuando se trabaja con cardenales transfinitos.