Oh Dios no, por supuesto que no es una coincidencia.
La función que es su propia derivada es la idea fundamental aquí, y el punto de partida lógico. Esta función es la función exponencial [math] \ exp (z) [/ math] que podemos construir basándose únicamente en esa propiedad definitoria, y de esta función podemos derivar la constante [math] e = \ exp (1) [/ math] (así como su período [math] 2 \ pi i [/ math], que es la razón por la cual [math] \ pi [/ math] es tan importante), y probar varias expresiones para ello, incluyendo
[math] \ displaystyle e = 1 + \ frac {1} {1!} + \ frac {1} {2!} + \ frac {1} {3!} + \ ldots = \ lim_ {n \ to \ infty } \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n [/ math].
Así que el aspecto de “interés compuesto” es el efecto secundario menor, no el corazón de la estructura lógica. A menudo es el caso que la historia adopta un enfoque serpenteante para el descubrimiento, y no la ruta más eficiente o lógica. El hecho de que Bernoulli se topó con [math] e [/ math] inicialmente como el límite de [math] (1 + 1 / n) ^ n [/ math] es incidental.
Déjame elaborar un poco.
Debería comenzar buscando una función que satisfaga [math] f ‘= f [/ math]. Esta es una idea muy natural y muy poderosa, ya que muchas de las ecuaciones diferenciales que surgen en matemáticas, física e ingeniería se pueden resolver usando una función de este tipo (osciladores armónicos, la distribución normal y muchas más).
Una vez que se topa con la idea de encontrar tal función, puede construirla de la siguiente manera. Comienzas con la función más simple.
[math] \ displaystyle f (x) = 1 [/ math]
(También puede comenzar con [math] f (x) = 0 [/ math], pero luego puede detenerse inmediatamente porque esta función es de hecho su propia derivada, y esto no es útil o ilustrativo).
Cuando tomas la derivada de este [math] f [/ math] obtienes, desafortunadamente, [math] 0 [/ math], que no es [math] f [/ math] en sí. ¿Qué tiene un derivado de [math] 1 [/ math]? Bueno, [math] x [/ math] sí, así que vamos a agregarlo en:
[math] \ displaystyle f (x) = 1 + x [/ math]
La derivada es ahora de hecho [math] 1 [/ math], pero ay, nuestra función ha cambiado mientras tanto y ahora tiene ese término [math] x [/ math]. ¿Qué tiene un derivado de [math] x [/ math]? Bueno, [math] \ frac {x ^ 2} {2} [/ math] por supuesto. Podemos agregarlo y obtener una función cuyo derivado es [math] 1 + x [/ math]:
[math] \ displaystyle f (x) = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} [/ math]
pero, una vez más, nuestra nueva función tiene la función anterior para su derivada, pero no para sí misma . Ugh Entonces, agregamos otro término a que tiene un derivado [math] \ frac {x ^ 2} {2} [/ math], y obtenemos
[math] \ displaystyle f (x) = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {6} [/ math]
Parece que esto siempre nos mete en problemas, pero si consideramos la función que suma todos esos términos de manera indefinida , nos salva la feliz circunstancia de que en una cadena de dominó infinita, cada dominó tiene un seguidor, y ese seguidor se encargará de ello. eso. En otras palabras, la función.
[math] \ displaystyle f (x) = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {6} + \ ldots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} [/ math]
Hace exactamente lo que queremos: es su propio derivado. Emocionado, le damos un nombre: [math] \ exp [/ math]. En este punto, no tenemos ninguna razón para sospechar que se trata de algo elevado al poder de [math] x [/ math]. Es solo una función, y una muy importante.
Comenzamos a explorar nuestra nueva y fascinante función. Es fácil ver que converge para cada [math] x [/ math], y de hecho converge absolutamente. Notamos que la siguiente reorganización de los términos ahora está justificada:
[math] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ k} {k!} \ sum_ {m = 0} ^ \ infty \ frac {y ^ m} {m!} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} x ^ ky ^ {nk} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(x + y) ^ n} {n!} [/ math]
e inmediatamente implica la maravillosa fórmula de adición.
[math] \ displaystyle \ exp (x) \ exp (y) = \ exp (x + y) [/ math]
Por eso, sea lo que sea [math] \ exp (1) [/ math], vemos que [math] \ exp (2) [/ math] es su cuadrado, y [math] \ exp (3) [/ math ] es su cubo, y así sucesivamente. De hecho, también [math] \ exp (3/2) [/ math] tiene que ser la raíz cuadrada de [math] \ exp (3) [/ math], y de esta manera descubrimos que [math] \ exp (q) [/ math] es simplemente [math] \ exp (1) ^ q [/ math] para cualquier rational [math] q [/ math], y por continuidad, [math] \ exp (x) = \ exp (1) ^ x [/ math] para cualquier [math] x [/ math] real. Por lo tanto, es una consecuencia de nuestra definición original que la solución de [math] f ‘= f [/ math] pasa a ser “algún número elevado al poder [math] x [/ math] “ .
¿Qué número? Por qué [math] \ exp (1) [/ math], por supuesto, al que deberíamos darle un nombre, por lo que lo llamamos [math] e = \ exp (1) [/ math]. Mirando hacia atrás en la definición de [math] \ exp [/ math] encontramos que
[math] \ displaystyle e = 1 + 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {6} + \ ldots + \ frac {1} {n!} + \ ldots [/ math]
y es un ejercicio estándar que utiliza el teorema binomial para concluir que también
[math] \ displaystyle e = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n [/ math]
Observe lo poco natural que sería comenzar con esta definición y trabajar hacia atrás para la función [math] \ exp [/ math]. Es complicado y no está motivado, pero el flujo lógico que acabamos de seguir tiene mucho sentido.
Así que, de nuevo, en general: la función que resuelve [math] f ‘= f [/ math] es lo sorprendente aquí, y por pura lógica encontramos que está dada por esta agradable y convergente serie de potencias, y se deduce que puede ser visto como [math] e ^ x [/ math], con el número [math] e [/ math] definido como una serie infinita o como un límite simple, y ahí es donde [math] e [/ math] realmente proviene de . No, con el debido respeto, a partir del valor de $ 1 compuesto continuamente al 100% de interés.