¿Tienes tiempo para dedicarte a un estudio serio de la geometría plana? A pesar de que a menudo se le llama “elemental”, no es muy elemental. Algo que todos sabemos, como el teorema de Pitágoras, no es fácil de demostrar con rigor. Sí, todos hemos visto varias pruebas de cortar y pegar, pero ¿qué tan rigurosos son, en realidad? Por ejemplo, todos se basan en la existencia de cuadrados, pero ¿cómo se demuestra que existen cuadrados?
Euclides sabía la respuesta a eso. Elementos de Euclides, Libro I, Proposición 46, la proposición que precede a su demostración del teorema de Pitágoras:
Mira todas las cosas que entraron para probarlo. I.Post.4 es el cuarto postulado, que todos los ángulos rectos son iguales. Euclides basó su geometría en axiomas (es decir, postulados y nociones comunes). Los axiomas fueron supuestos explícitamente enunciados. En su mayor parte, se pueden expresar fácilmente, pero uno de ellos, el postulado paralelo, I.Post.5, tiene una afirmación bastante complicada. En realidad se usa en esta proposición, no directamente, sino indirectamente a través de la proposición I.34. El teorema de Pitágoras es falso si el postulado paralelo no se sostiene.
A menos que haya estudiado matemáticas basadas en una teoría axiomática (como la de Euclides, o la teoría de los números basada en los axiomas Dedekind-Peano, o la teoría de conjuntos basada en los axiomas de Zermelo-Fraenkel), no ha visto matemáticas reales . Toda la aritmética, el álgebra, la trigonometría y el cálculo que has estudiado durante años y años no son matemáticas reales hasta que se prueba cada afirmación, y eso requiere axiomas, definiciones y teoremas con pruebas.
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Una forma de aprender algunas matemáticas reales es mediante el estudio de los Elementos de Euclides . El primer libro te mostrará mucho. Termina con el teorema de Pitágoras y su inverso. (Lo contrario indica que para un triángulo si [math] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ math], entonces el triángulo es un triángulo rectángulo con hipotenusa [math] c [/ math].) Ver también fallas en la presentación de Euclides. Hay varios lugares donde saca conclusiones sin justificación. Reconocer fallas es importante, también. La presentación de Euclid no mejoró hasta alrededor de 1900, cuando los matemáticos arreglaron esos defectos. Vea los fundamentos de la geometría de Hilbert para más información sobre eso.
Sí, los Elementos de Euclides todavía merecen ser estudiados.
Su segunda pregunta, qué libros puede recomendar para la geometría euclidiana, depende de lo que quiere decir con geometría euclidiana. Si te refieres a la geometría euclidiana de la forma en que lo hizo Euclides, entonces sus Elementos son el mejor texto.
El problema con la mayoría de los libros de texto modernos es que usan coordenadas o, de lo contrario, se basan en propiedades asumidas de números reales. Ya que generalmente no prueban nada sobre los números reales, eso significa que la exposición no es autocontenida. Busque libros de texto que no usen coordenadas o números reales, pero que se construyan a partir de los axiomas de geometría establecidos.