¿Cuál es la formación matemática específica requerida para comenzar a estudiar sistemas dinámicos? ¿Cuáles son los mejores libros sobre cada tema?

Answer 1

Las principales cosas que necesita para comenzar con los sistemas dinámicos es una comprensión muy sólida tanto del álgebra lineal como del cálculo. El conocimiento profundo de estos dos temas es crucial. También es bueno tener algunas ecuaciones diferenciales ordinarias elementales, aunque los sistemas dinámicos continuos ofrecen un enfoque cualitativo a las ecuaciones diferenciales, por lo que vería esto como útil pero decididamente opcional. Nika Lazaryan dio algunos consejos muy útiles sobre temas que podría necesitar para áreas particulares de sistemas dinámicos (por ejemplo, la topología es muy útil para muchas de las partes más puras del tema).

En mi opinión, el mejor libro de introducción para usar en sistemas dinámicos es el libro de Steve Strogatz. Es un libro muy amigable, y desde allí puede pasar a libros más avanzados sobre los temas que más le interesan. Es cierto, como escribió Nika Lazaryan, que el libro de Strogatz se centra más en los sistemas continuos que en los discretos. Sin embargo, sí tiene alguna discusión sobre los discretos. El libro de Bob Devaney es un libro introductorio que se centra en sistemas dinámicos discretos.

En cuanto a qué libros usar antes de comenzar a estudiar sistemas dinámicos, hay muchos de ellos por ahí. El libro del que aprendí el cálculo ya estaba agotado durante varias décadas cuando lo usé hace un par de décadas. Es de Crowell & Slesnick, e incluso después de dos décadas sigue siendo mi libro de cálculo favorito con diferencia. Lo enseña desde un enfoque más riguroso que el de los libros modernos. Estoy seguro de que hay buenos libros modernos; Simplemente no sé cuáles recomendar. Para el álgebra lineal, creo que el libro de Gil Strang es bueno y tiene una perspectiva aplicada. También hay otros más teóricos. La mayoría de los libros de álgebra lineal en estos días incluirán una introducción al análisis de fase-plano de sistemas dinámicos de segundo orden lineales, de coeficiente constante. Ese es el punto de partida para profundizar más en el estudio de los sistemas dinámicos continuos. Dominar el análisis algebraico lineal de tales sistemas también lo ayudará cuando aprenda sistemas dinámicos discretos.

Answer 2

La respuesta depende de la profundidad con la que desee estudiar el campo de los sistemas dinámicos y la cantidad de matemáticas que ya conoce. Hay algunos textos de licenciatura que son bastante buenos y accesibles, la dinámica no lineal y el caos de Strogatz y el caos discreto de Elaydi vienen a la mente para sistemas dinámicos continuos y discretos, respectivamente. También depende de si desea centrarse en aplicaciones o teoría, e incluso entonces la respuesta dependerá del campo de aplicaciones o aspectos teóricos. Otro buen texto es la Teoría de los Elementos de Bifurcación Aplicada de Kuznetsov que trata los sistemas continuos y discretos y debería ser accesible para los estudiantes de nivel superior. Estos son solo algunos ejemplos, pero pueden servir como punto de partida para usted.

Soy un tanto novato en este campo, y trabajo principalmente con sistemas discretos y ecuaciones de diferencia, y aunque se puede hacer mucho con un costo inicial relativamente bajo (se sorprenderá de lo lejos que puede llegar el álgebra simple de sexto grado). usted), no hay un solo día que no deseo que supiera más matemáticas. Y, como es lógico, cuanto más aprendo sobre otras áreas de las matemáticas, mejor comprensión y comprensión me brinda a los sistemas dinámicos.

Más a su pregunta: independientemente de si desea estudiar sistemas continuos o discretos, como mínimo, diría, una buena comprensión del análisis es una necesidad, junto con algunos conocimientos de topología. Para sistemas de dimensiones superiores, también necesitará saber álgebra lineal. Cuanto más quiera avanzar, más densa será la teoría y más direcciones tendrá que seguir. Se necesitarán conocimientos más avanzados de topología y análisis funcional, así como álgebra abstracta. Además, si está interesado en sistemas estocásticos (vs. deterministas), también necesitará conocer alguna teoría de probabilidad, procesos estocásticos y cálculo estocástico. No estoy muy familiarizado con este último tipo, por lo que quizás otros puedan ayudarlo con referencias.

Para ver textos más avanzados, vea la Introducción de Katok y Hasselblatt a la Teoría moderna de los sistemas dinámicos. El apéndice de este libro rasca la superficie de los diferentes campos matemáticos, cuyo fondo se requiere para este libro. Hacen un buen trabajo en el apéndice que cubre la topología, el análisis funcional, la geometría diferencial, la teoría de la medida, la topología algebraica, la teoría de la homología y un poco sobre los grupos de Lie. En la introducción, proporcionan descripciones muy agradables de las principales ramas de la dinámica (teoría ergódica, dinámica topológica, dinámica hamiltoniana …), por lo que puede usar esto para orientarse y quizás buscar textos más específicos. Recientemente empecé a trabajar en este libro y se espesa bastante rápido. Sin embargo, la belleza de este campo fascinante se debe en parte al hecho de que se basa en muchos otros campos fundamentales de las matemáticas y, sin embargo, tiene textos que pueden ser accesibles tanto para los estudiantes universitarios como para los más avanzados.

Answer 3

Los cursos que me han pedido que tome (como requisitos previos para una dinámica discreta) son

Topología diferencial

Dinámica hiperbólica

Geometría riemanniana

Teoría Ergódica Diferible

Los detalles del curso están disponibles en

http://www.impa.br