¿Son realmente necesarios los libros de transición (Spivak, Apostol, Courant) antes de estudiar textos de análisis reales, si uno ya tiene buenas habilidades de prueba?

No has especificado de qué libro de Spivak estás hablando, pero suponiendo que te refieres a Michael Spivak, muchos de sus libros son muy útiles para explicar ciertos aspectos del análisis con mucho mayor detalle que en cualquier otro lugar.

Tomemos, por ejemplo, el teorema de Stokes. El tratamiento en el libro de Spivak, Calculus on Manifolds, es muy general y muy interesante por decir lo menos, pero también completamente diferente del enfoque que se obtiene normalmente del mismo teorema que un estudiante de segundo o tercer año. Así que puedes llamarlo material suplementario para una mayor comprensión.

Los colectores, especialmente los collares semi-riemannianos, son un tema que no se cubre mucho en las clases de matemáticas de pregrado, o incluso en los cursos de análisis de nivel de posgrado hasta que estudias algo relacionado (más en física) como la Relatividad General, y entonces estás justificado en ser desconcertado por el enfoque completamente diferente del tema en los departamentos de física en comparación con los modernos libros de texto de geometría diferencial. Spivak, de nuevo, viene al rescate en su Introducción integral a la geometría diferencial en 5 volúmenes. Estos son 5 grandes volúmenes. Mi conclusión: llenar los huecos puede ser tan divertido como el tema original, y más.