¿Cuáles son algunos libros matemáticamente rigurosos fuera de las matemáticas?

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Hay bastantes en física, comenzando con algunas de las obras de Galileo, Diálogos sobre las dos nuevas ciencias ; Kepler, The New Astronomy , especialmente The Movions of the Star Mars ; y Newton, Principia Mathematica . En cada caso, algunos principios de la física tienen que derivarse de la experiencia, es decir, de la observación y el experimento, y luego mucho más puede derivarse matemáticamente de esos principios.

Tal es el caso de la Mecánica Cuántica y la Relatividad General, utilizando técnicas tales como la mecánica matricial, las álgebras de operadores aplicadas a la ecuación de onda, el álgebra tensorial y la geometría diferencial. Las matemáticas subyacentes a la teoría de cuerdas, la supersimetría, la gravedad cuántica de bucle y otras teorías propuestas en física son impecables, pero no sabemos si las suposiciones con las que parten son ciertas y todavía no tenemos pruebas experimentales adecuadas para ninguna de ellas.

Spinoza intentó aplicar el rigor matemático a la filosofía y la teología. Falló estrepitosamente, pero logró establecer los derechos humanos como un tema fundamental en la filosofía política.

Existen tratamientos matemáticamente rigurosos de algunos temas en economía. Sin embargo, todos dependen de supuestos particulares, tomados como axiomas o postulados en sus respectivas teorías. Dado que esos axiomas y postulados comúnmente no se mantienen en el mundo real, las conclusiones rigurosas derivadas de las matemáticas no se aplican necesariamente a nada. El texto más destacado es la Teoría del valor: un análisis axiomático del equilibrio económico por Gerard Debreu. Donde se sostienen sus axiomas, como lo hacen en algunos mercados adecuadamente regulados, dan resultados reales, y donde fallan, como por ejemplo en burbujas de activos en mercados no regulados, nos permiten comprender las fallas de mercado resultantes, en particular los choques y las recesiones. .

El razonamiento matemático riguroso se puede aplicar en áreas tan diversas como la ecología (en particular las estadísticas de población) y la teoría de la votación. En todos los casos, las conclusiones solo se aplican cuando los supuestos pueden verificarse.

Ahora al otro lado de tu pregunta, una que no preguntaste. ¿Dónde ha fallado el rigor matemático en las matemáticas?

• El Quinto Postulado de Euclides en líneas paralelas no es verificable, porque las geometrías no euclidianas son consistentes, y se pueden construir y observar. Esto se hizo en el siglo XIX.
• Cero, junto con números negativos y complejos, fueron rechazados por razones filosóficas, a pesar de que son matemáticamente esenciales. Fibonacci introdujo cero a Europa en el siglo XIII. Los números negativos y complejos tardaron siglos en ser aceptados, incluso después de que se demostró que eran necesarios para resolver ecuaciones cúbicas en el siglo XVI.
• La lógica matemática temprana y la teoría de conjuntos en el siglo XIX se encontraron con una amplia gama de paradojas, resueltas en la formulación de ZFC, la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel con el Axioma de elección y en varios sistemas alternativos.
• Las supuestas pruebas de que no puede haber infinitos e infinitesimales en la aritmética, y la prueba de Peano de que solo hay una estructura que satisface sus axiomas para los números naturales, se basó en suposiciones que los hicieron incapaces de formalizarse. Las dos versiones principales de aritmética que tienen infinitos e infinitesimales son los números hiperrealistas de Abraham Robinson y los números surrealistas de John Horton Conway.

Aparte de esos casos, todo lo que se probó correctamente en matemáticas se ha probado.