He recopilado lo que creo que es una colección definitiva de listas de listas en Amazon para una mejor selección de libros y referencias, principalmente en orden creciente de dificultad, en casi cualquier rama de la geometría y la topología. En particular, los libros que recomiendo a continuación para topología diferencial y geometría diferencial; Espero completar comentarios para cada título ya que tengo tiempo en el futuro.
Si quieres tener un conocimiento general, los mejores libros con sabor a Física son “Geometría, Topología y Física” de Nakahara y, sobre todo: “La Geometría de la Física” de Frankel (gran libro, pero a veces su notación puede molestarte). mucho en comparación con las normas).
Si desea aprender Topología diferencial, estudie estos en este orden: “Topología desde un punto de vista diferenciable” de Milnor , “Introducción a la topología diferencial” de Jänich / Bröcker y “De cálculo a cohología” de Madsen . Aunque siempre es bueno tener un conocimiento práctico de la topología general de conjuntos de puntos que puede aprender rápidamente de la “Topología” de Jänich y más rigurosamente con “A Taste of Topology” de Runde .
Para iniciar la Topología algebraica, estos dos son de gran ayuda: “Conceptos básicos de la topología algebraica” de Croom y “Topología algebraica un enfoque intuitivo” de Sato / Hudson . Las referencias estándar de nivel de posgrado son la “Topología algebraica” de Hatcher y la “Topología y geometría” de Bredon , la “Topología algebraica” de Tom Dieck junto con las formas diferenciales de Bott / Tu en la topología algebraica “.
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Para comprender realmente las motivaciones clásicas e intuitivas de la geometría diferencial moderna, debe dominar curvas y superficies de libros como “Geometría diferencial de curvas y superficies” de Toponogov y hacer la transición con la “Geometría diferencial – curvas, superficies, colectores” de Kühnel . . Otros buenos textos clásicos son “Geometría diferencial” de Kreyszig y “Conferencias sobre geometría diferencial clásica ” de Struik .
Para la geometría diferencial moderna no puedo enfatizar lo suficiente como para estudiar cuidadosamente los libros de “Manifolds and Geometry diferencial” de Jeffrey M. Lee y “Geometry of Manifolds” de Livio Nicolaescu . Ambos son profundos, legibles, exhaustivos y cubren muchos temas con un estilo y una notación muy modernos. En particular, la de Nicolaescu es mi favorita. Para la geometría riemanniana recomendaría “Geometría y análisis geométrico riemanniano” de Jost y la “Geometría riemanniana” de Petersen . Una buena introducción para Geometría simplplica es “Conferencias sobre geometría simplica” de Cannas da Silva o “Una introducción a la geometría simplica de Berndt “ . Si necesitas grupos de Lie y álgebras, el libro de Kirilov “Una introducción a Lie Groops y Lie Algebras” es agradable; para aplicaciones en geometría, lo mejor es “Geometría diferencial – Grupos de mentiras y espacios simétricos” de Helgason .
POR TONELADAS DE PROBLEMAS RESUELTOS EN LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL, el mejor libro es, de lejos, el volumen reciente de Gadea / Muñoz: “Análisis y álgebra sobre colectores diferenciables: un cuaderno de ejercicios para estudiantes y profesores” . Desde múltiples a la geometría y paquetes riemannianos, junto con asombrosos apéndices de resumen para la revisión de la teoría y tablas de fórmulas útiles.
Sin embargo, yo diría que una de las mejores introducciones a múltiples es el viejo libro soviético publicado por MIR, Mishchenko / Fomenko – “Un curso de geometría diferencial y topología” . Se desarrolla todo desde arriba.
Rn [math] Rn [/ math], curvas y superficies para llegar a variedades lisas y MUCHOS ejemplos (grupos de Lie, clasificación de superficies, etc.). También está lleno de MUCHAS figuras y dibujos clásicos de cada construcción, lo que le da una motivación muy visual y geométrica. Incluso desarrolla geometría riemanniana, cohomología de Rham y cálculo variacional en múltiples fácilmente y sus explicaciones son muy importantes para la Tierra. Si puede obtener una copia de este título a un precio barato (el enlace de arriba lo envía al mercado de Amazon y hay copias baratas “como nuevas”) Creo que vale la pena. Sin embargo, dado que su tratamiento es un poco anticuado, no se usa el tipo de formulación algebraica (olvídese de los retrocesos y los funtores, como mencionan Tu o Lee), por eso un tratamiento geométrico a la antigua puede ser muy útil para complementar los títulos modernos. Al final, no debemos olvidar que los antiguos maestros fueron mucho más visuales e intuitivos que los modernos enfoques abstractos de la geometría.
El libro de Mishchenko / Fomenko, junto con su compañero de problemas y soluciones, ha sido recientemente impreso y reimpreso por Cambridge Scientific Publishers. Las ediciones soviéticas originales aún se pueden comprar con un premio mucho más barato a través de los editores de la URSS (obtuve mi copia de esa manera ya que tienen distribución directa en España).
Si está interesado en aprender Geometría algebraica, recomiendo los libros de mi lista de Amazon. Están en el orden recomendado para aprender desde el principio por ti mismo. En particular, de esa lista, un camino rápido para comprender la geometría algebraica básica sería leer Bertrametti et al. “Clases magistrales sobre curvas, superficies y variedades proyectivas” , “Geometría algebraica básica” de Shafarevich vol. 1, 2 y Perrin “Geometría algebraica una introducción” . Pero entonces estás entrando en el mundo del álgebra abstracta.
Si está interesado en Geometría compleja (Kähler, Hodge …) Recomiendo “Lectures on Kähler Geometry” de Moroianu , “Lectures on Kähler Manifolds” de Ballmann y “Complex Geometry” de Huybrechts . Para conectar esto con el análisis de varias variables complejas, recomiendo probar Fritzsche / Grauert “De las funciones holomorfas a los colectores complejos” y también el “Análisis diferencial de pozos de los colectores complejos” . Luego, para conectar esto con la geometría algebraica, intente, en este orden, “Curvas algebraicas y superficies de Riemann” de Miranda , “Geometría algebraica – Variedades proyectivas complejas ” de Mumford , “Teoría de Hodge y Geometría algebraica compleja ” de Voisin . . 1 y 2, y Griffiths / Harris “Principios de la geometría algebraica” .
Puedes ver su tabla de contenidos en Amazon. ¡Espero que esto ayude, buena suerte!