Ahora estoy en un teléfono y no soy la persona más calificada para responder esto, pero al menos puedo publicar lo que la segunda edición dice sobre el tema.
El teorema de Tychonoff se encuentra en la sección 4.6 de la segunda edición. Las notas en el segundo capítulo dan un poco de historia de la topología, y mencionan: “La prueba que hemos presentado, que es más simple y más elegante que las anteriores, se debe a Chernoff [24]”. Al revisar la bibliografía, parece que esa fuente es
PR Chernoff, una prueba más simple del teorema de Tychonoff a través de las redes, Amer. Mates. Mensual 99 (1992) 932-934
Como lo sugiere el título del artículo, esta prueba utiliza la terminología de redes y puntos de cluster (la segunda edición primero prueba el Teorema 4.29 que trata los equivalentes a la compacidad que conlleva) que no había visto como un requisito previo en otras pruebas.
La edición de Dover de la topología de Donald W Kahn: Introducción al conjunto de puntos y áreas algebraicas, que es mi primera inversión en el tema, pasa el doble de tiempo demostrando que no tiene redes, y luego comenta:
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Este teorema es, como comentamos, una generalización de Basic Lemma 4.2, que trata el caso de un producto de dos conjuntos. Es lamentable que uno no pueda hacer dibujos para ilustrar este caso general. Otras pruebas están disponibles, por ejemplo en la Bibliografía, uno puede consultar los libros de S. Gaal o N. Bourbaki. El primero proporciona una prueba más difícil, pero proporciona un estudio útil de la sub-base de la topología del producto. El segundo ofrece una prueba muy breve y resbaladiza, pero que invoca nuevos conceptos de filtros y ultrafiltros. He intentado una postura de compromiso, como la prueba en el libro de J. Kelley.
En cualquier caso, el teorema no es fácil, y recomiendo, como mínimo, una comprensión profunda del Lema 4.2 y la declaración de este teorema.
De todos modos, la respuesta completa es probablemente lo que esperaría: diferentes lemas y definiciones de cimientos permiten pruebas más o menos directas y más largas o más cortas del teorema final, por lo que cada autor decide qué ruta tomar. Incluí el comentario largo de un volumen diferente porque siempre he sido un fanático de los autores matemáticos que rompen el flujo de pruebas con motivaciones y otros comentarios.
Actualizar:
El artículo de Chernoff en sí tiene un buen resumen de por qué es una mejora y menciona los mismos enfoques que Kahn hace. Está disponible a través de jstor: http://www.jstor.org/stable/2324485