Mi respuesta puede ser un poco diferente a las otras respuestas, ya que describiré el método de Bethe ansatz desde un punto de vista puramente matemático. Dada una ecuación diferencial de la forma.
[math] \ left (X (z) \ frac {d ^ 2} {dz ^ 2} + Y (z) \ frac {d} {dz} + Z (z) \ right) S (z) = 0 [ /mates]
donde [math] X (z), Y (z), Z (z) [/ math] son polinomios de grado como máximo [math] 4, 3, [/ math] y [math] 2 [/ math] respectivamente. Uno puede encontrar una solución polinomial de esta ecuación suponiendo que [math] S (z) [/ math] tiene soluciones polinomiales de la forma
[mates]
S (z) = \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {n} (z-z_i)
[/mates]
Encontré este método por primera vez mientras leía este artículo [math] [1] [/ math] hace un año. No voy a entrar en detalles, ya que terminaría reescribiendo el documento, pero esencialmente el método crea ciertas restricciones para las cuales la ecuación diferencial anterior admite soluciones polinomiales. Sin embargo, debo resaltar un error que el autor cometió en la página 6.
Las identidades
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[mates]
\ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ sum \ limits_ {j \ neq i} ^ {n} \ frac {z_i} {z_i-z_j} = \ frac {1} {2} n (n- 1) \\
\ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ sum \ limits_ {j \ neq i} ^ {n} \ frac {z_i ^ 2} {z_i-z_j} = n (n-1) \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} z_i \\
\ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ sum \ limits_ {j \ neq i} ^ {n} \ frac {z_i ^ 3} {z_i-z_j} = (n-1) \ sum \ limits_ { i = 1} ^ n z_i ^ 2 + \ sum \ limits_ {i <j} z_iz_j
[/mates]
debería leer como
[mates]
\ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ sum \ limits_ {j \ neq i} ^ {n} \ frac {z_i} {z_i-z_j} = \ frac {1} {2} n ^ 2 ( n-1) \\
\ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ sum \ limits_ {j \ neq i} ^ {n} \ frac {z_i ^ 2} {z_i-z_j} = n ^ 2 (n-1) \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} z_i \\
\ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ sum \ limits_ {j \ neq i} ^ {n} \ frac {z_i ^ 3} {z_i-z_j} = n (n-1) \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n z_i ^ 2 + \ sum \ limits_ {i <j} z_iz_j
[/mates]
Esto cambia muchas cosas en su artículo y aliento al lector a que lo resuelva por sí mismo.
En general, considero que es un método muy útil para encontrar soluciones de forma cerrada a ecuaciones que de otra manera serían intratables.
[1] Yao-Zhong Zhang. “Soluciones polinomiales exactas de ecuaciones diferenciales de segundo orden y sus aplicaciones”. Diario de Física A: Matemáticas y Teóricas 45.6 (2012): 065206. Página en arxiv.org