Esta es una pregunta interesante, y creo que la respuesta puede ser diferente en diferentes contextos. Intentaré explicar algunos contextos posibles.
- Ecuaciones de movimiento
Tomemos, por ejemplo, la segunda ley de Newton: [math] \ vec F = m \ vec a [/ math]. La fuerza [math] \ vec F [/ math] será una función de la posición, y la aceleración [math] \ vec a [/ math] es la segunda derivada de esa posición, por lo que terminas con una gran cantidad de Las ecuaciones diferenciales de segundo orden, que a su vez a menudo (pero obviamente no siempre) conducen a la cuadratura de una forma u otra.
- Energía potencial (efectiva)
En física, a menudo tratamos con sistemas que están casi en equilibrio, y queremos entender cómo responde el sistema si lo empujamos un poco, perturbando ese equilibrio.
En equilibrio (estable), el sistema está en un mínimo de su energía potencial (efectiva), lo que llamaremos [math] U (x) [/ math]. Ya que estamos viendo pequeñas perturbaciones, tiene sentido escribir este potencial como una serie de Taylor centrada alrededor del punto de equilibrio, que llamaremos [math] x_0 [/ math]:
[math] U (x) = U (x_0) + U ‘(x_0) (x-x_0) + \ tfrac {1} {2} U’ ‘(x_0) (x-x_0) ^ 2 + \ tfrac {1 } {6} U ” ‘(x_0) (x-x_0) ^ 3 + \ dots [/ math]
Hasta un pedido tan alto como queramos. Por supuesto, el punto cero para la energía potencial es arbitrario, por lo que somos libres de establecer [math] U_0 = 0 [/ math]. Además, dado que estamos en un mínimo potencial, [math] U ‘(x_0) = 0 [/ math]. El término de orden más bajo que nos queda es, por lo tanto, el término cuadrático; para pequeñas perturbaciones, los términos cúbicos y de orden superior serán pequeños en comparación. Nos quedamos, entonces, con algo como
[math] U (x) = \ tfrac {1} {2} k (x-x_0) ^ 2 [/ math],
para alguna constante [math] k \ equiv U ‘(x_0) [/ math], que puede reconocer como la energía potencial de un resorte.- ¿Cómo puede quedar algún átomo fisible? ¿La investigación moderna ha arrojado alguna luz sobre esto?
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En resumen, si estás lo suficientemente cerca de un equilibrio estable, más o menos todo se comporta como un resorte. Esto conduce a energías cuadráticas y, a su vez, a la prevalencia de oscilaciones sinusoidales a lo largo de la física.
- Conservación de la energía radiada total.
Supongamos que tiene una bombilla en medio de una habitación y quiere saber qué tan brillante se ve (o cuánta luz llega a su ojo por segundo) desde una cierta distancia [math] r [/ math] lejos de ella.
Bueno, si asumimos que la luz no solo está desapareciendo en el medio del espacio, y que nada en el aire la está absorbiendo, la potencia total de la bombilla tendría que ser la misma a cualquier distancia. Sin embargo, cuanto más lejos se encuentre, más se extenderá: específicamente, se extenderá sobre el área de un radio de radio [math] r [/ math], que tiene area [math] 4 \ pi r ^ 2 [ /mates]. Por lo tanto, la intensidad de la luz debe caer como [math] 1 / r ^ 2 [/ math]. Como lo indicó el usuario de Quora en su respuesta, esto sería diferente si viviéramos en un número diferente de dimensiones.
- Las interacciones tienden a ser entre pares de partículas.
Si se trata de dos masas que ejercen fuerzas gravitacionales entre sí, o dos cargas que ejercen fuerzas eléctricas entre sí, tendemos a hablar de las interacciones entre pares de cosas. Entonces, si tienes un número (grande) de partículas, [math] N [/ math], entonces el número de interacciones será aproximadamente [math] N ^ 2 [/ math]. Cada interacción de este tipo tiene energía asociada, por lo que usted termina con la energía almacenada en un condensador que es proporcional al cuadrado de la carga, la energía gravitacional interna total de un objeto es proporcional al cuadrado de su masa, etc.
Estoy seguro de que me estoy perdiendo muchas cosas aquí, pero, para abreviar, ¡hay muchas buenas razones para que aparezcan los cuadráticos en física!
=============== EDITAR A CONTINUACIÓN =================
Estoy agregando a mi respuesta en respuesta a la edición de la pregunta.
En términos de la ecuación particular que mencionaste, no soy un experto en mecánica de fluidos (o aerodinámico, en realidad). Quizás alguien que pueda responder mejor a esto. Pero, sí creo que hay algunas cosas que puedo decir que pueden apuntar en la dirección correcta.
1. Es casi seguro que la fórmula que proporcionó es una aproximación de la regla del pulgar que es lo suficientemente cercana a la verdad para propósitos prácticos a las velocidades que los aviones normalmente viajan. El factor de 1/100, por ejemplo, es casi seguramente una estimación empírica, no el resultado de un cálculo exacto.
Sin embargo, eso todavía deja la pregunta: ¿por qué es incluso * aproximadamente * cuadrático? Lo que lleva a,
2. Cambiemos los marcos de referencia. En lugar de pensar en un avión volando por el aire, avancemos junto con el avión, de modo que parezca que el avión está parado y hay un viento en contra muy alto (con v = TAS). Las moléculas que forman el aire tienen dos tipos de movimiento: movimiento en masa y movimiento térmico. El movimiento en masa es la velocidad del viento, y es la misma v para todas las moléculas. Sin embargo, además de eso, se agrega el movimiento térmico, que apunta en direcciones aleatorias para cada molécula. La energía de este movimiento térmico es proporcional a la temperatura del gas.
Entonces, ¿qué sucede cuando este “viento” golpea la superficie dura del avión y tiene que detenerse? Cada molécula de aire individual rebota en la superficie del avión, y luego, de repente, se encuentra dirigiéndose directamente hacia el “viento” en sí. Como resultado, termina rebotando en muchas otras moléculas de aire, aleatorizando efectivamente su velocidad. La superficie del avión evita cualquier movimiento masivo hacia adelante, y el viento que se precipita previene cualquier movimiento masivo hacia atrás, por lo que lo único que queda es el movimiento térmico. Entonces, toda esa energía que solía ser en forma de movimiento en masa se ha convertido en calor (movimiento térmico). Dado que la temperatura es proporcional a la energía térmica, el cambio de temperatura será proporcional a la energía cinética de movimiento en masa inicial del viento entrante. Pero, como sabemos, la energía cinética es proporcional a [math] v ^ 2 [/ math], por lo que el cambio de temperatura debería ser proporcional a [math] \ text {TAS} ^ 2 [/ math].
En realidad, por supuesto, están sucediendo cosas mucho más complicadas: algo de aire fluye alrededor del avión, no solo deteniéndose; el “viento” no se detiene de repente , hay una región de mayor presión (“arco de choque”) frente al avión; la energía del gas fluye hacia el avión y el aire circundante como calor; y probablemente un montón de cosas que ni siquiera sé porque este no es mi campo. Aún así, creo que mi análisis da una primera aproximación decente, y con suerte al menos una intuición parcial de por qué funciona esa ecuación.