En un plano perfectamente plano, el horizonte no se aleja de su campo de visión, por lo que todos los objetos en el plano están dentro de su línea de visión. Y así, de hecho, en una Tierra plana, la ciudad de Nueva York está a tu alcance desde el Monte. McKinley.
Sin embargo, el simple hecho de tener una línea de visión hacia un objeto no es suficiente para poder verlo. Hay un par de otros factores que entran en juego:
1) Dispersión y absorción de luz por gas atmosférico y partículas de polvo.
2) La resolución angular de tu ojo.
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En la práctica, 1) limitará los objetos más lejanos que pueda ver a no más de unos pocos cientos de kilómetros.
Sin embargo, si ignoramos los efectos atmosféricos (simulamos que estamos mirando a través del vacío), entonces 2) se convierte en nuestro efecto limitante, lo cual, creo, hace que el análisis sea mucho más interesante. Procederemos de la siguiente manera:
El ángulo más pequeño que puede resolver su ojo viene dado por la fórmula:
[math] \ theta = 1.22 * \ lambda / A [/ math]
donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo, [math] \ lambda [/ math] es la longitud de onda de la luz que estás observando, y A es la apertura, o diámetro, de tu pupila.
De acuerdo con este artículo, un ojo humano totalmente dilatado tiene una apertura de [math] 7 * 10 ^ {- 3} [/ math] metros. La luz visible tiene una longitud de onda de aproximadamente [math] 5 * 10 ^ {- 7} [/ math] metros. Al insertar estos números en la ecuación anterior obtenemos un ángulo de resolución mínimo de:
0.000087 radianes.
La pregunta entonces se convierte en “¿Qué ángulo subtiende la ciudad de Nueva York cuando se ve desde Mt. McKinley?” Si la respuesta es mayor que 0,000087 radianes, entonces es resoluble. Si es menos de 0.000087 radianes, entonces no se puede resolver.
Estimo que la vista de la ciudad de Nueva York es un plano vertical de aproximadamente 5000 metros de longitud (Lower Manhattan más Midtown) por 100 metros de altura (sí, muchos de los edificios en la ciudad de Nueva York son más altos que esto, pero solo somos interesado en la ciudad a granel, ya que los edificios individuales seguramente serían sin solución).
monte McKinley está a unos [metros] 6 * 10 ^ {6} [/ math] metros de la ciudad de Nueva York.
Por lo tanto, a 5000 metros de longitud, la ciudad de Nueva York subtiende un ángulo de 5000/6000000 = 0,00083 radianes cuando se ve desde el monte. McKinley. Esto es más grande que nuestro ángulo de resolución mínimo. Sin embargo, a 100 metros de altura, la ciudad de Nueva York subtiende un ángulo de 100/6000000 = 0.000016. Esto es más pequeño que nuestro ángulo de resolución mínimo. Por lo tanto, no sería visible a simple vista, ya que sería demasiado estrecho en la dirección vertical.
Puede trabajar hacia atrás y resolver para A, para determinar la apertura mínima del instrumento que necesitaría para verlo. Al conectar los números en nuestra ecuación de ángulo más pequeña, obtenemos:
[math] 0.000016 = 1.22 * 5 * 10 ^ {- 7} / A [/ math]
Resolviendo para la IA obtenemos 0.038 metros (3.8 centímetros). Esto se trata de la apertura de un par de binoculares grandes, que es lo que necesitas para resolver la ciudad de Nueva York desde el monte. McKinley.