En realidad es bastante simple! Empezaré con una analogía con las matemáticas.
Digamos que las matemáticas en realidad eran lingüísticas o algo similar. Así que tratas de describir qué es un auto con palabras. Pero un automóvil es precisamente esta cosa con algunas características (cuatro llantas, un motor, asientos, etc.) y, ¿y si tiene dos o tres llantas, sigue siendo un automóvil? Resumiendo un poco, digamos que son vehículos automotores, y luego decidimos que queremos una palabra para todas las cosas que … van a los lugares. Como cohetes y aviones. Así que vehículo es tu palabra general.
Las matemáticas son así. Tienes estos números, digamos, y luego te abstraes de allí hasta que llegas a otras cosas como conjuntos infinitos que no parecen tener ningún propósito real. O números complejos. O tome la geometría plana y después de unos cientos de años llegará a espacios vectoriales de dimensiones infinitas. ¿Pero a quién le importa, y cómo ayuda eso a alguien?
En algún momento, te darás cuenta de que estas construcciones lógicas que hemos creado para divertirnos son realmente útiles. Quieres comunicar a algunos alienígenas lo más rápido posible qué es un avión. Defina un vehículo, defina una atmósfera, defina un motor a reacción y tendrá lo básico. Si tuviera un montón de definiciones ultra específicas alrededor, no podría ver los conceptos de nivel superior y las conexiones. Así que alguien se dio cuenta de que los espacios de Hilbert correspondían a estados de giro cuántico entrelazados. Y esa solución de un sistema lineal puede darle soluciones a la ecuación diferencial acoplada que le indica la dinámica de un montón de péndulos. O que una teoría gravitacional puede explicarse con alguna geometría loca.
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Aquí hay otra analogía. Generalmente cuando construimos herramientas reales, tenemos un propósito para hacerlo. Tal vez necesitas algo que mantenga unidas las cosas, así que inventas un tornillo. Entonces te das cuenta de que sería genial tener un destornillador. Pero luego piensas, sería realmente útil construir tornillos gigantes, o algo así como tornillos (pernos), y unir vigas de acero. Y luego necesitas un destornillador muy fuerte y … bueno, eso es casi el final de mi conocimiento sobre atornillar vigas de acero. Pero imagina que a algunas personas les encantan las herramientas porque las herramientas son geniales. Y que realmente no cuesta mucho hacerlos, solo hay que pensar en ellos. Eso es lo que son las matemáticas. Es básicamente la creación de herramientas lógicas.
No estoy seguro de si realmente respondí el “por qué”. Sabemos que podemos describir las cosas con lógica, es solo una cuestión de cuánta complejidad podemos soportar. Una bola que rueda por un avión es bastante fácil, pero entender los derivados financieros es ridículo. Pero todo está ahí … sabemos que las cosas se pueden describir de manera lógica (al menos, suponemos eso y encontramos que el supuesto nos da un marco bastante bueno (física y otras ciencias matemáticas) que predice las cosas con mucha precisión). Y es ese principio el que hace que las matemáticas sean útiles.