¿Cuáles son las diferencias físicas entre los tensores contravariantes y covariantes?

Answer 1

Siempre me ha resultado más fácil pensar en términos de análisis dimensional.

Imagina un auto viajando en una carretera. Las unidades de medida para la velocidad del automóvil van a ser (longitud) / (tiempo).

Ahora imagine que a medida que este automóvil viaja, usted debe medir cómo cambia la temperatura a medida que el automóvil avanza en diferentes direcciones. La temperatura estará en grados centígrados y el vector que describe cómo cambia la temperatura a medida que se mueve en diferentes direcciones será (temperatura) / (longitud).

Notará que en la primera situación, la longitud está en la parte superior y en la segunda, la longitud está en la parte inferior. Esto significa que si realiza una conversión de unidad (por ejemplo, de pies a metros), terminará haciendo la conversión de diferentes maneras. Un vector contravariante es el nombre del primer tipo de vector, mientras que un vector covariante es el nombre del segundo tipo.

La razón por la que las cosas en GR terminan siendo vectores covariantes es que con GR generalmente se trata de un campo. No tiene un solo punto en movimiento, sino que está observando cómo los diferentes campos interactúan entre sí. Como no se trata de un punto de movimiento, sino de un conjunto de campos, los vectores con los que se encuentra están en la segunda categoría en lugar de en la primera.

Mucho del cálculo del tensor tiene más sentido para mí, si pienso en términos de conversiones de unidades. Si cambio de pies a metros, entonces, ¿cómo cambian los números? Ver cómo cambian sus números si realiza una conversión de unidades le informa algo sobre la naturaleza del objeto que está mirando.

Answer 2

La respuesta de Robert J. Kolker da el detalle sangriento, pero aquí hay una versión rápida y sucia.

Trabajemos en las tres dimensiones del espacio clásico (olvida el tiempo, la relatividad, los cuatro vectores, etc.). Entonces el ejemplo prototípico de un vector contravariante es un vector de desplazamiento. Supongamos que tienes un vector (1, 2, 3) que representa un desplazamiento. Implícitamente tiene unidades de metros o similares para cada uno de los tres componentes. Ahora suponga que reduce el sistema de coordenadas en la dirección x, de modo que ahora está midiendo x en milímetros. Esto no es algo que harías por el gusto de hacerlo, pero es representativo de las cosas que deberías hacer cuando intentas establecer un sistema de coordenadas en un espacio curvo. (Piense en líneas de latitud y longitud en la superficie de la tierra, no están, y no pueden estar, espaciadas por igual).

Para representar el mismo desplazamiento físico, debe transformar el vector a (1000, 2, 3). Implícitamente eso es (1000 mm, 2 m, 3 m). El componente vectorial se ha vuelto más grande a medida que la unidad de longitud del sistema de coordenadas se ha vuelto más pequeña. Eso es contravarianza.

Ahora imagine que tiene un potencial en ese espacio 3D, y un vector de gradiente que indica en qué dirección aumenta el potencial más rápidamente y cuál es la tasa de aumento. Eso es lo que el campo eléctrico les está diciendo acerca del voltaje. Implícitamente, el vector gradiente tiene unidades de algo u otro por metro o similar – voltios por metro en el caso de un campo eléctrico. Entonces, si el campo eléctrico era (4, 5, 6) V / m en el sistema de coordenadas original, tiene que ser (0.004 V / mm, 5 V / m, 6 V / m) en el sistema de coordenadas con x reducida. El componente vectorial ha variado de la misma manera que la unidad de longitud del sistema de coordenadas: eso es covarianza.

Ahora, en física clásica, nunca tiene que pensar en esta distinción porque se le garantiza que podrá usar sistemas de coordenadas euclidianos simples, rectos y simples con escalas iguales en todas las direcciones. Puedes probar el sabor de los sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera, pero no es realmente una necesidad práctica.

Sin embargo, en GR, se frota la nariz porque el propio espacio-tiempo se modela como doblado, por lo que no hay sistemas de coordenadas totalmente rectos. Entonces, si bien puede seguir pensando en los vectores contravariantes como objetos con forma de lanza como de costumbre, una mejor metáfora para los vectores covariantes es como una pila de superficies equipotenciales de cualquiera que sea el potencial implícito, como en las imágenes de la Covarianza y la contravarianza de los vectores.

Answer 3

Los tensores covariantes y contravariantes se pueden ver en relación con conceptos como los productos tensoriales y los espacios vectoriales, pero trataré de proporcionar una explicación simple de este tema.

Los componentes de un tensor siguen una ley de transformación entre diferentes sistemas de coordenadas.

En resumen, un ejemplo de un tensor de variante de orden 2 es un conjunto [math] A ^ {\ text {mn}} [/ math] que satisface lo siguiente para todos m, n:

Usando la convención de suma de Einstein, la ley de transformación anterior se puede escribir como:

Los índices para tensores contravariantes son superíndices.

De manera similar, y utilizando la convención de suma, un tensor covariante de orden o rango 2 satisface lo siguiente:

Los índices para tensores covariantes son subíndices.

Aquí hay una explicación simple de la diferencia entre las ecuaciones de transformación para tensores contravariantes y covariantes usando matrices (de un viejo sitio web mío):
http://instarsci.tripod.com/tens…

Vea también los siguientes enlaces relacionados y útiles:

Tensor Covariante

Tensor Contravariante

Covarianza y contravarianza de vectores (artículo con ejemplos y diagramas de Wikipedia)

Manera intuitiva de entender la covarianza y la contravarianza en Tensor Algebra

Answer 4

Puede tomar como ejemplo el gradiente de un campo vectorial [math] \ vec {\ nabla} \ vec {V} [/ math], luego el operador nabla [math] \ vec {\ nabla} [/ math] es un Vector covariante, o un tensor de la forma (0,1) que lleva un vector contravariante a un número real.

Actualizar:
Desde que actualizó su pregunta, intentaré escribir una respuesta más completa a eso.

Por ejemplo, [math] x ^ {\ mu} [/ math] (en el espacio 2D Minkowski) tiene los componentes [math] (a, b) [/ math] luego [math] x _ {\ mu} [/ math] tiene los componentes [math] (a, -b) [/ math], por supuesto que sabías esto. Entonces el objeto [math] x _ {\ mu} [/ math] se llama un vector de 1-forma o covariante. El objeto [math] x ^ {\ mu} [/ math] se denomina vector contravariante. Se puede pensar en un vector contravariante como un vector normal de escuela secundaria como una línea dirigida, pero el vector en forma de 1 o covariante es un conjunto de superficies numeradas (o planos paralelos) a través del cual pasa el vector contravariante. La forma 1 es igual que el tensor métrico [math] g _ {\ alpha \ beta} [/ math] otra cosa parecida a una máquina (todas estas máquinas son tensores). (La forma 1) convierte un vector contravariante en una función escalar. Entonces, si tiene la forma 1 [math] \ eta [/ math] como campo y un vector contravariante [math] v [/ math], como campo [math] [/ math] te da la cantidad de piezas de [math] \ eta [/ math] perforadas por [math] v [/ math]. Por lo tanto, cada campo de vector contravariante tiene un campo de forma 1 asociado, y ambos juntos le dan la longitud (o la cantidad de planos perforados por el vector, que es el mismo) del vector.
Por ejemplo una lista corta:

Coordenadas euclidianas / cartesianas:
Vector (componentes contravariantes): [math] (dx, dy, dz) [/ math]
1-forma (componentes covariantes): [math] (dx, dy, dz) [/ math]
Longitud / magnitud: [math] dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} [/ math]

Coordenadas esféricas:
Vector: [math] (dr, d \ theta, d \ phi) [/ math]
1-form: [math] (dr, r ^ {2} d \ theta, r ^ {2} sin ^ {2} \ theta d \ phi) [/ math]
Longitud / magnitud: [math] dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2} [/ math]

Mecánica cuántica:
Vector: [math] | i> [/ math] (ket)
1 forma: [math] Longitud / magnitud: [math] [/ math]

SR:
Vector: [math] (cdt, dr [/ math]
1-form: [math] (cdt, -dr) [/ math]
Longitud / magnitud: [math] c ^ {2} dt ^ {2} -dr ^ {2} [/ math]

Y todos ellos tienen diferentes métricas, por supuesto.

Pero todo está mucho más conectado, ¡y tienes que estudiar muchas matemáticas para ver lo que es real! No puedo darte la razón real, pero tiene que ver con que necesitas el vector dual de un vector para obtener su magnitud, no siempre es solo la suma de los cuadrados, también los vectores y los vectores duales no se relacionan fácilmente. Tienes que encontrarlos para cada caso.

Answer 5

La derivada parcial de cualquier composición se distribuye como una composición de una contra-variante y una derivada parcial covariante, si la reescribes usando la regla de la cadena
[math] \ partial f_xOx_p (t) = \ partial f_x (x_p (t)) (Co) O \ partial (x_p (t)) (Contra) [/ math]
LHS es una aproximación lineal de [math] f_xOx_p [/ math].
Si: f: combustible, P: trayectoria, t: tiempo.
Entonces :
[math] \ frac {df_y} {dt} = \ frac {df_y} {dp} * \ frac {dp} {dt} [/ math]
& [math] \ frac {df_x} {dt} = \ frac {df_x} {dp} * \ frac {dp} {dt} [/ math]
; para fOp (t); regla de la cadena.
F cambia más de lo normal en un sistema de coordenadas de grano grueso y menos de lo normal en un sistema de coordenadas de grano fino para un cambio de unidad en la distancia (x o y): Covariante.
Mientras que P cambia ltn en cgcs y mtn en fgcs para un cambio de unidad en el tiempo: Contravariante.
La diferencia en el contexto de su pregunta es la torsión .
[math] \ nabla ^ \ mu = g ^ {\ mu \ nu} \ nabla_ \ nu [/ math]
Si [math] \ nabla ^ \ mu [/ math] es contra-variante, [math] \ nabla_ \ nu [/ math] está libre de torsión ([math] \ nabla_ \ mu g ^ {\ nu k} = 0 [ /mates]).
(Torsión como en la diferencia de una propiedad entre dos lados de un campo)
En cuanto a las conexiones libres de torsión, puede reemplazar los derivados de las variantes de la variante al calcular la derivada de Lie de los campos vectoriales contrarios.
Al igual que un funtor contra-variante en una categoría que invierte la dirección de alguna composición de fOg, será un funtor covariante en la categoría opuesta C_opp y mantendrá esa dirección.

Así que el covariante es especial, como y cuando quieres preservar la dirección de alguna composición.

Este rasgo, que contra revierte y Co conserva en general.
Un constructor de tipos es contravariante si invierte el orden de los tipos.
Un vector v en V como una combinación lineal de elementos de base f, es contra-variante si
[math] f -> f ‘[/ math]
[math] v (f) <- v (f '). [/ math]
……

Answer 6

Hay dos tipos de cosas en el espacio, puntos y funciones, por ejemplo: hay elementos [math] 10 [/ math], rotula esos elementos por [math] 1 \ dots 10 [/ math], obtenemos [math] 10 [/ math] puntos, luego ponderamos esos artículos, obtenemos una función [math] f (i) [/ math].
Ahora, vuelva a etiquetar esos elementos dudando de sus índices, por lo que la transformación de los puntos es [math] i \ to 2i [/ math], y la transformación para la función es [math] f (i) \ to f (i / 2) [ / math], porque después de volver a etiquetar cuando obtuviste un índice [math] 4 [/ math], debes volver a transformarlo en [math] 2 [/ math] para usar los registros de peso.

Ahora considere la situación continua, que haya una distribución masiva continua en el plano [math] xy [/ math], [math] f (x, y) [/ math] es la densidad en el punto [math] (x, y) [/ math], en una pequeña vecindad de [math] (0,0) [/ math] usa la derivada para aproximar la función [math] f (x, y) \ approx f (0,0) + (f_x, f_y) | _ {(0,0)} \ binom {x} {y} [/ math]

Haga un cambio de coordenadas nuevamente [math] (x, y) \ a (u = 2x, v = 3y) [/ math], cuando se le asigne una nueva etiqueta [math] (u, v) [/ math], debemos transformar para calcular la aproximación [math] (f_x, f_y) | _ {(0,0)} \ binom {\ frac {u} {2}} {\ frac {v} {3}} = (f_x, f_y ) | _ {(0,0)} \ binom {\ frac {1} {2}, 0} {0, \ frac {1} {3}} \ binom {u} {v} [/ math], así que la representación de la aproximación bajo las nuevas coordenadas es [math] (f_x, f_y) | _ {(0,0)} J [/ math], aquí [math] J = \ binom {\ frac {1} {2} , 0} {0, \ frac {1} {3}} [/ math] es el jacobiano del cambio de coordenadas. Así que la parte lineal de la aproximación es un vector covariante.

Aquí, en una pequeña vecindad de [math] (0,0) [/ math], [math] (x, y) [/ math] es un vector ordinario, [math] (f_x, f_y) | _ {(0, 0)} [/ math] el gradiente de una función es un vector covariante.

Más ejemplo:

El punto medio del intervalo [math] [a, b] [/ math], parece una función [math] f (a, b) = \ frac {a + b} {2} [/ math], pero es un punto, dado un cambio de coordenadas [math] x \ a kx [/ math], Jacobian es [math] \ frac {1} {k} [/ math], la representación del punto medio bajo las nuevas coordenadas es [math] k \ frac {a + b} {2} [/ math]. Es un vector contravariante.

Answer 7

Un tensor contravariante (en otras palabras, un vector), se transforma ‘opuesto’ (contra) a la forma en que se transforman los vectores base, mientras que un tensor covariante (o vector dual) se transforma de la misma manera que los vectores base. No puedo escribir látex en este teléfono, por lo que en palabras: la matriz de transformación para los vectores de base tiene un índice ascendente y otro descendente, y por “opuesto” quiero decir que los índices ascendente y descendente se intercambian por una transformación contravariante.

Físicamente, puedes imaginar que los tensores de tipo covariante (0,1) actúan sobre los vectores habituales para producir cantidades escalares. Por ejemplo, el vector dual del campo eléctrico toma un vector de dirección y produce la magnitud del campo eléctrico en esa dirección.

Answer 8

En algunos contextos, de hecho verá la derivada covariante con un índice superior en lugar de un índice inferior. Esto no es nada especial; simplemente tomas el derivado covariante y elevas el índice,
[math] \ nabla ^ \ mu = g ^ {\ mu \ nu} \ nabla_ \ nu [/ math]
Entonces realmente no hay ninguna “diferencia”; cuando una ecuación se escribe en forma covariante, puedes subir y bajar los índices que quieras, y eso no cambia el significado.

De hecho, el derivado “contravariante” aparece en la generalización del operador d’Alembert al espacio-tiempo curvo. Por ejemplo, la ecuación de onda en el espacio-tiempo curvo se puede escribir:
[math] \ nabla ^ \ mu \ nabla_ \ mu \ phi = 0 [/ math]
que es equivalente a:
[math] g ^ {\ mu \ nu} \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi = 0 [/ math]

Creo que la razón por la que usualmente ves la derivada covariante es la misma razón por la que las derivadas parciales en el espacio-tiempo plano usualmente se escriben con sus índices hacia abajo. La derivada parcial con su índice hacia abajo es una operación “natural” ya que es una diferenciación con respecto a las coordenadas contravariantes, que se toman como la parametrización de la variedad subyacente.

Answer 9

Me refiero a todas las respuestas matemáticas a continuación, todas verdaderas y correctas, PERO, ¿qué hay de esto como una respuesta FÍSICAMENTE INTUITIVA: veamos … queremos calcular las cantidades físicas que todos (cualquier marco) puedan acordar? Si las transformaciones de cuadro a cuadro son transformaciones lineales (matrices … No me importa si se trata de un grupo de rotación o de relatividad especial o lo que sea), a menudo la cantidad físicamente invariable puede representarse como una forma cuadrática. Bingo, tienes vectores y vectores, y toda la gloriosa estructura que viene con un espacio vectorial con un producto interno; hecho.

¿Qué sucede si la transformación de una trama a otra no es una transformación lineal (sino una transformación de coordenadas general)? Bueno, en general, un poco fuera de suerte PERO, como en el caso de las transformaciones de coordenadas generales, ¡la transformación es lineal en el espacio tangente! Entonces, represente todas las cantidades físicas como cantidades diferenciales para que vivan en el espacio tangente en el que aún podemos jugar el juego de los invariantes informáticos a través de una forma cuadrática y hablar sobre vectores y vectores.

Olvida x ^ \ mu. Todo lo que tienes es dx ^ \ mu, y un método para construir consistentemente cantidades físicas (diferenciales) en el espacio tangente; por dx ‘_ \ mu nos referimos al (… ahora alimenta las cosas que otros han escrito a continuación …)

Answer 10

Uno se refiere a un vector normal .. Una dirección. Otro dice cómo un campo escalar varía en una dirección particular. Por lo tanto, su producto dice cuánto ha variado el campo escalar (un escalar). Si no entendiste esto, lee sobre vectores y formas para obtener una intuición.

Answer 11

Un tensor es una función multi-lineal de vectores y una forma. El rango contravariante le dice de qué forma se forma el tensor. El rango covariante le dice de cuántos vectores es función el tensor. Por ejemplo, un tensor (1,1) devolvería un número real (podría ser cualquier campo) si se le diera una forma y un vector.

Answer 12

Por favor, mira aquí: la covarianza y la contravarianza de los vectores.

Este artículo tiene diagramas ingeniosos que muestran la distinción entre covarianza y contravarianza.

Vea también: Página en Gmu
el cual tiene ejemplos algebraicos completamente desarrollados.

Answer 13

Vectores como [math] x ^ {\ mu} [/ math] son ​​tus objetos habituales con una magnitud y una dirección, por ejemplo, son una línea de cierta longitud que apunta a algún lugar. 1-formas como [math] x _ {\ mu} [/ math] son ​​funciones que mapean estos vectores a la línea real, eso es, literalmente, todo lo que son. Un ejemplo de tal objeto es, como muchas personas señalan en otras respuestas, la operación de divergencia.

Answer 14

Me encontré con esta muy buena ilustración para aquellos interesados: