Comience por asegurarse de que entiende cómo encontrar el área bajo una curva en coordenadas cartesianas. Digamos que te pedí que encontraras el área (firmada) debajo de [math] f (x) = [/ math] [math] x ^ 2 + x-1 [/ math] desde [math] x = 0 [/ math] hasta [Matemáticas] 1 [/ Matemáticas]. ¿Te sentirías cómodo con eso? Integrarías [math] f (x) [/ math] de [math] x = 0 [/ math] a [math] 1 [/ math] para obtener [math] – \ frac {1} {6} [ /mates]. En un ejemplo con límites más complicados, uno podría tener que integrarse sobre [math] x [/ math] y [math] y [/ math]. En general, el área viene dada por [math] A = \ int \ int 1 \; dy \; dx [/ math], donde los límites de [math] x [/ math] y [math] y [/ math] Son elegidos para residir enteramente dentro de la región de interés. Si ya te sientes cómodo con esto, entonces la buena noticia es que encontrar áreas dentro de una región polar delimitada por [math] r = r (\ theta) [/ math] es en muchos aspectos muy similar. La principal diferencia matemática es
- Al hacer integrales de área en coordenadas polares, se está integrando sobre [math] r [/ math] y [math] \ theta [/ math] en lugar de [math] x [/ math] y [math] y [/ math], y
- necesita integrar [math] r [/ math] en lugar de [math] 1 [/ math] para que la respuesta salga bien.
Hagamos el ejemplo más simple posible: encuentre el área dentro de la curva [math] r (\ theta) = R [/ math]. Luego [math] A = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {r (\ theta)} r \; dr \; d \ theta [/ math]. Repasemos lo que sucedió en esta expresión. Primero, el integrando es [math] r \; dr \; d \ theta [/ math] ya que estamos en coordenadas polares, en lugar de [math] 1 \; [/ math] [math] dx \; dy [/ mates]. En segundo lugar, note los límites. El límite interno va desde [math] 0 [/ math] a [math] r (\ theta) [/ math] porque queremos incluir regiones desde el origen ([math] r = 0 [/ math]) hasta el final fuera de la curva delimitadora ([math] r = r (\ theta) [/ math]). El límite exterior es la especificación de nuestro rango [math] \ theta [/ math], que en nuestro ejemplo será completamente, ([math] 0 [/ math] a [math] 2 \ pi [/ math]). En el ejemplo particular que di, [math] r (\ theta) = R [/ math], así que podemos conectarlo al límite superior en la integral interna. Así que la integral interna se evalúa como [math] \ frac {R ^ 2} {2} [/ math], y la integral externa no ve ninguna [math] \ theta [/ math] -dependencia en cualquier lugar, por lo que simplemente se multiplica por [math ] 2 \ pi [/ math]. El [math] 2 [/ math] s se cancela, y nos quedamos con [math] A = \ pi R ^ 2 [/ math]. Puede notar que esta es también la fórmula para un círculo de radio [math] R [/ math]. Esto no es una coincidencia; la curva polar definida por [math] r (\ theta) = R [/ math] es exactamente eso!
Se puede imaginar extendiendo este problema poniendo límites en [math] \ theta [/ math], digamos desde [math] 0 [/ math] a [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math], say. ¿Te imaginas a qué región daría la respuesta la integral con estos límites? ¿Qué sucede si cambia los límites de la integral interna para ejecutar de [math] R_1 [/ math] a [math] R_2 [/ math]? ¿Cómo sería la región correspondiente ahora?
Para este tipo de problemas, realmente tiene que pensar cómo los límites de las integrales definen la región en cuestión preguntando “eligiendo un [math] \ theta [/ math] entre los límites dados, y un [math] r [ / math] entre los límites dados, ¿qué conjunto de puntos pueden ser afectados por estas elecciones? “. Si puedes entender esto, entonces el resto es más o menos simplemente siguiendo la fórmula.
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