Si los fotones no tienen masa, ¿por qué se cuantifica el campo electromagnético?

Answer 1

Es mejor que hagas la pregunta al revés. Hay mucha confusión evidente en sus detalles.

El campo electromagnético se cuantifica exactamente porque está formado por fotones. Otros campos también se cuantifican, porque están formados por otras partículas.

No tiene nada que ver con la falta de masa.

¿Como funciona esto?

En las teorías de campo relativistas, los operadores de campo y las interacciones invariantes de Lorentz, se construyen expandiendo los campos en irreps del grupo de Lorentz generalizado SO (3,1) más las traducciones, o en irreps de SL (2, C) si consideramos el doble complejizado. cubierta del grupo de Lorentz en su lugar, lo que se hace comúnmente.

Los operadores de Casimir del grupo incluyen uno para giro intrínseco y uno para el impulso cuadrado. De modo que las partículas, incluidos los fotones, se caracterizan por el tipo de irritación en que caen.

El caso de masa 0, giro 1 es especial, pero todavía está dado por una irritación del grupo.

Los operadores de escalera sobre los que se está preguntando surgen del procedimiento de cuantificación canónica para la teoría de campo que impone ciertas relaciones de conmutación al operador de campo y su operador de momento conjugado, y a su vez se imponen ciertas relaciones de conmutación sobre los coeficientes de los irreps de SL (2 , C) que aparecen en la expansión de Fourier de los campos clásicos. Estos coeficientes se convierten en operadores de escalera en la teoría de campos cuantificados.

El problema crítico aquí es la cuantización canónica de la teoría del campo, no la forma de los términos cuadráticos en el campo del fotón y no las condiciones de los límites. Las condiciones de contorno en fotones libres no son diferentes de las condiciones de contorno en partículas libres sin masa.

Hay otras sutilezas debido a la naturaleza de los irreps de spin sin masa que corresponden al fotón, pero este es el punto básico. Los operadores de escalera para crear y aniquilar fotones en el vacío surgen exactamente de la misma manera que los operadores de escalera para crear y aniquilar partículas sin masa.

Answer 2

Lo estás pensando demasiado.

Simplemente abra cualquier libro de texto de teoría cuántica de campos introductorios (como Peskin y Schroeder) y vea exactamente cómo se cuantifica el campo electromagnético y cómo funcionan todas estas cosas sobre las que está preguntando, tanto para los casos sin masa como para los masivos.

Encontrará que el campo electromagnético cuantificado admite una expansión perfectamente buena en los operadores de creación y aniquilación, tiene partículas sin masa (fotones) como excitaciones, se puede resolver para diferentes tipos de condiciones de contorno, etc.

Si luego tiene alguna pregunta sobre lo que lee, estaré encantado de responderlas

Answer 3

Es cierto que cada vez que tiene un espectro de energía discreto en mecánica cuántica, siempre se debe a condiciones de contorno.

Y también es cierto que el único potencial de energía que conduce a una separación igual de esos niveles de energía (como es el caso de las excitaciones del campo electromagnético para un modo dado) es un potencial de oscilador armónico.

Pero donde su lógica va mal es asumir que el término de masa es lo que proporciona ese potencial. Esto es sutil, pero los términos de energía potencial que está buscando en realidad están ocultos en lo que generalmente se conoce como los términos de “energía cinética” en el lagrangiano:

[math] F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = (\ partial \ mu A_ \ nu – \ partial_ \ nu A_ \ mu) (\ partial ^ \ mu A ^ \ nu – \ partial ^ \ nu A ^ \ mu) [/ math]

Si amplías esto, encontrarás términos cuadráticos en las derivadas espaciales del potencial vectorial electromagnético [math] (\ partial_i A_j) ^ 2 [/ math]

Desde la perspectiva de la teoría de campo, estos no suelen considerarse términos de energía potencial. Pero si piensa que el campo es el límite continuo de un número infinito de osciladores armónicos acoplados, estos son el límite de los términos de energía potencial que acoplan un oscilador a otro. Por ejemplo, en un sistema de resorte simple sería [math] k (x_i – x_j) ^ 2 [/ math].

(Donde las i y j en esta última ecuación etiquetan el centro de las coordenadas de masa, no las dimensiones espaciales).

Así que los operadores de subida y bajada, el operador numérico y todo eso proviene de este potencial de oscilador armónico para las derivadas de campo, no de los términos cuadráticos para el propio campo. Como dicen Barak y David, si un término en masa está presente es irrelevante.

Las ecuaciones clásicas de movimiento para este lagrangiano sin una masa es una ecuación de onda con la velocidad de propagación igual a la velocidad de la luz, mientras que con una masa es menor que la velocidad de la luz. Después de la cuantificación, lo mismo se aplica, pero la energía se ve forzada a ser un múltiplo de la frecuencia de la constante de Planck. Y esos múltiplos enteros son los valores propios del operador numérico.

¿Cuál es la condición límite que fuerza esta discreción? Es el hecho de que la energía potencial se acerca al infinito positivo como las derivadas espaciales del potencial de vector al infinito.

Answer 4

En primer lugar, el resto de fotones es nulo. Sin embargo:
[math] E = pc [/ math]
Así que los fotones tienen energía e impulso, eso es lo que hace que un oscilador armónico sea adecuado para el modelado.
Los límites necesarios están en el campo electromagnético, y no en el fotón. Usted impone restricciones para resolver la ecuación de onda diferencial y, luego, se compara con un oscilador armónico hamiltoniano / energía. Esto significa que su campo estará en un modo bien definido (o combinación de), donde puede describirlo utilizando una suma de ondas planas y cuantificarlo. Si no tiene CUALQUIER límite, creo que es bastante difícil encontrar una descripción matemática, ya que las matemáticas no suelen ser buenas con los infinitos.
Puede que esté diciendo algo tonto, pero creo que los límites que imponemos provienen directamente de la forma en que observamos la interacción de la radiación con la materia, ya que estas ideas provienen en primer lugar del efecto fotoeléctrico / radiación del cuerpo negro. Esto no significa que SABEMOS lo que realmente es un fotón, esto solo significa que describimos su comportamiento matemáticamente de esa manera.

Answer 5

“Las ecuaciones subyacentes en la mecánica cuántica son continuas, la discreción siempre surge de las condiciones de los límites”.

No veo cómo esto es verdad. La discreción en la gestión de la calidad proviene del colapso de la función de onda (lo que sea que esto realmente signifique) durante una medición para obtener uno de los valores propios del operador hermitiano relevante con alguna probabilidad conocida, que se obtiene del vector propio correspondiente.

Pero hasta que se realiza la medición, la evolución de la función de onda obedece a la ecuación de Schrödinger, que es tiempo continuo de wrt.

Answer 6

El campo electromagnético no está cuantificado en absoluto, pero la mayoría de la radiación em se cuantificó por nacimiento debido a saltos cuánticos discretos.

Pero en nuestra galaxia también tenemos desplazamiento rojo y cambio azul desde la radiación em, por lo que en principio todas las frecuencias podrían observarse porque no se cuantifican cosas como la velocidad.