Según la mayoría de las cuentas, Kurt Gödel fue probablemente el mejor lógico del siglo XX, porque logró usar la lógica para demostrar que la lógica no era, y nunca podría ser, el fin de todo, la verdad de todos.
En la charla de fantasía, si una lógica tiene al menos suficientes axiomas y reglas de inferencia para probar lo que puede hacer la aritmética de Robinson, independientemente de la semántica consistente que use para probar todas las tautologías de esa lógica, siempre habrá al menos una tautología que La semántica demostrará que es una tautología, pero que los axiomas y las reglas de inferencia de la lógica no pueden derivar como un teorema.
Puede pensar que la solución a tal problema es agregar más axiomas, probar más teoremas y, de este modo, cubrir el agujero que dejó la semántica dada. Desafortunadamente, Gödel demostró que tal enfoque está condenado al fracaso. Entonces, tus únicas esperanzas de crear una lógica que demuestre que todas las verdades se encuentran en …
- creando una lógica con infinitos axiomas, destruyendo así la distinción entre axiomas y teoremas, y dejando la lógica sin sentido; o
- crear una lógica que es inconsistente, lo que le permite probar todas las verdades a costa de probar todas las falsedades como verdades, haciendo que la lógica sea inútil.
Los lógicos de hoy tienen que decidirse a trabajar en lógicas que no tienen ninguna esperanza de probar todas las verdades, o al regresar al tablero de dibujo (todo el camino de regreso a Frege) para reconstruir un esquema de axiomas más defectuoso y desafiar un camino que no caiga. Presa de los resultados de Gödel.
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Honestamente, no puedo pensar en nadie cuyos resultados impactaran a más personas, ya que ni siquiera comencé a explicar los efectos de este resultado en cuestiones de funciones computables y similares.
