Se lanza un proyectil desde un punto P. Se mueve de tal manera que su distancia de P siempre aumenta. ¿Cómo encontraría el ángulo máximo sobre la horizontal con el que se podría haber lanzado el proyectil?

Answer 1

Proporcionaré una derivación más directa y fácil de leer del mismo resultado que fue publicado por Sandra Zuend.

Sabemos que el camino es una parábola. Suponiendo que el punto de partida está en [math] x = 0 [/ math], tendrá la forma [math] y = x (T-Ax) [/ math], donde [math] T [/ math] es el tangente del ángulo en el que comienza el camino y [math] A [/ math] es proporcional a la aceleración descendente. [math] x [/ math] aumentará proporcionalmente al tiempo, por lo que es suficiente considerar cómo varían las cosas con respecto a [math] x [/ math].

Defina [math] S (x) = x ^ 2 + y ^ 2 [/ math], la distancia al cuadrado de un punto a lo largo de la ruta desde el punto de inicio en el origen de [math] xy [/ math].

[math] S = x ^ 2 + x ^ 2 (T ^ 2-2ATx + A ^ 2x ^ 2) [/ math]

[math] = A ^ 2x ^ 4 -2ATx ^ 3 + (1 + T ^ 2) x ^ 2 [/ math]

Queremos que S sea no decreciente. Así que considere su derivado

[math] S ^ \ prime = 4A ^ 2x ^ 3 – 6ATx ^ 2 + 2 (1 + T ^ 2) x [/ math]

[math] = 2xP (x) [/ math], donde [math] P (x) = 2A ^ 2x ^ 2 -3ATx + (1 + T ^ 2) [/ math]

Queremos asegurarnos de que el polinomio [math] P (x) [/ math] nunca se vuelva negativo. Para [math] x \ geq T / A [/ math] claramente [math] S ^ \ prime \ gt 0 [/ math]. También está claro que si T es demasiado grande, habrá un intervalo de [math] x [/ math] para el cual [math] S ^ \ prime \ lt 0 [/ math], en cuyo caso [math] P [/ math] debe tener 2 raíces reales distintas en [math] (0, T / A) [/ math]. Buscamos la mayor [math] T [/ math] para la cual esto no sucede. Para cualquier [math] T [/ math] más grande, no habrá raíces reales de [math] P [/ math]. Por lo tanto, buscamos un valor de [math] T [/ math] para el cual [math] P [/ math] tiene una raíz doble. Esto requiere que el discriminante de la ecuación cuadrática [math] P (x) = 0 [/ math] sea [math] 0 [/ math]. Es decir,

[math] 9A ^ 2T ^ 2 – 8A ^ 2 (1 + T ^ 2) = 0 [/ math], lo que implica

[math] T ^ 2 = 8 [/ math] o [math] T = 2.82 [/ math].

Tomando [math] \ tan ^ {- 1} (2.82) [/ math], obtenemos el ángulo [math] 70.5 [/ math] deg.

(Considerando el área delimitada por la curva y el eje [math] x [/ math], se puede observar que el parámetro [math] A [/ math] solo afecta el tamaño de la misma, no la forma de la misma. el valor de [math] A [/ math] no afecta la respuesta.)

Answer 2

Creo que la siguiente es la respuesta. Probablemente quiera revisar el álgebra y validar el pensamiento.

La distancia horizontal está dada por:
x = cos (θ) ⋅vo⋅t
La distancia vertical está dada por:
y = sin (θ) ⋅vo⋅t − g / 2⋅t ^ 2
Donde vo es la velocidad inicial, g es la constante gravitacional y θ es el ángulo con respecto a la horizontal.
La distancia recorrida viene dada por: r = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = √ (vo ^ 2⋅t ^ 2 + g ^ 2 / 4⋅t ^ 4 − g⋅t ^ 3⋅vo⋅sin ( θ))
Para calcular la distancia cada vez mayor, la derivada con respecto al tiempo debe ser mayor que cero.
d (r) / d (t) = 1 / 2r * (2⋅vo ^ 2⋅t + 4⋅g ^ 2 / 4⋅t ^ 3− 3g⋅t ^ 2⋅vo⋅sin (θ) = 1 / 2r * t (2⋅vo ^ 2 + 4⋅g ^ 2 / 4⋅t ^ 2− 3g⋅t⋅vo⋅sin (θ)))> = 0 -> la expresión en el corchete debe ser mayor que cero.
g ^ 2⋅t ^ 2 – 3g⋅t⋅vo⋅sin (θ) + 2⋅vo ^ 2> = 0
t es el determinante de la expresión cuadrática
t = (3g⋅vo⋅sin (θ) +/- √ (9⋅g ^ 2⋅vo ^ 2⋅sin ^ 2 (θ) – (4⋅g ^ 2⋅2⋅vo ^ 2))) / 2g ^ 2
t = 3g⋅vo⋅sin (θ) +/- √ (9⋅g ^ 2⋅vo ^ 2⋅sin ^ 2 (θ) – (4⋅g ^ 2⋅2⋅vo ^ 2))
t = 3g⋅vo⋅sin (θ) +/- g⋅vo⋅√ (9⋅sin ^ 2 (θ) – (8))
Nos deshicimos convenientemente de g y v0. Eso tiene sentido físicamente.
t = 3⋅sin (θ) +/- √ (9⋅sin ^ 2 (θ) -8)
Para que esta ecuación tenga una solución, la raíz cuadrada debe ser real. Así
pecado (θ) = √ (8/9)
θ = 70.52878 grados.