¿Cómo prueban los conmutadores la incertidumbre en la mecánica cuántica?

Answer 1

El conmutador de dos operadores [math] A [/ math] y [math] B [/ math] es

[math] [A, B] \ equiv AB-BA [/ math]

Es una medida de cuánto no viajan los dos operadores. En física, los observables como el impulso y la energía están asociados con los operadores. Si dos operadores observables conmutan, entonces una medición de uno no afectará la medición del otro. En otras palabras, puede medir [math] A [/ math] primero y luego [math] B [/ math] ([math] AB [/ math]) o medir [math] B [/ math] y luego [ math] A [/ math] ([math] BA [/ math]), y los resultados serían los mismos porque [math] AB = BA [/ math]. Sin embargo, si los dos operadores no conmutan (el conmutador no es cero), entonces el resultado de las dos mediciones dependerá del orden.

Además, todos los observables físicos son variables aleatorias. Esto no es error de medición. La naturaleza misma es aleatoria . Por lo tanto, el resultado de cualquier medición es aleatorio, con una distribución descrita por la función de onda del sistema. A veces, el grado de aleatoriedad para un observable es pequeño, con los valores medidos agrupados estrechamente sobre el valor promedio:

Otras veces, la distribución puede ser muy amplia:

Matemáticamente, caracterizamos este grado de aleatoriedad, o incertidumbre , como el ancho [math] \ sigma [/ math] de esta distribución, que se define como el cuadrado medio de la raíz. Si [math] \ sigma_A [/ math] es la incertidumbre en observable [math] A [/ math] y [math] \ sigma_B [/ math] es la incertidumbre en observable [math] B [/ math], entonces con una Un poco de esfuerzo puede mostrar que estas dos incertidumbres obedecen a la desigualdad,

[math] \ sigma_A \ sigma_B \ geq \ frac {1} {2} \ mid \ langle [A, B] \ rangle \ mid [/ math]

donde [math] \ langle w \ rangle [/ math] indica el valor promedio de [math] w [/ math], y [math] \ mid w \ mid [/ math] es la magnitud de [math] w [/ mates]. Esto dice que el producto de las incertidumbres en los dos observables es siempre mayor o igual a la mitad de la magnitud del promedio del conmutador de los dos operadores. Por lo tanto, el conmutador de dos operadores observables está vinculado fundamentalmente a la incertidumbre en los dos observables.

Por ejemplo, el conmutador del operador de posición [math] x [/ math] y el operador de momentum [math] p [/ math] es solo una constante: [math] [x, p] = i \ hbar [/ math] , donde [math] \ hbar [/ math] es la constante de Planck. Así, el producto de las incertidumbres obedece.

[math] \ sigma_x \ sigma_p \ geq \ frac {\ hbar} {2} [/ math]

Este es el famoso Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

Answer 2

Es un teorema en el análisis de Fourier que dos operadores que no conmutan satisfacen una relación similar a la incertidumbre. Cuando se aplica a la física, esto significa que el conmutador de dos observables indica cuándo hay una relación de incertidumbre: si el conmutador es 0, entonces no existe tal relación.

Answer 3

Una prueba de incertidumbre distinta de cero es verificar si el conmutador de dos observables es igual a cero. Esta es solo una forma muy sencilla de preguntar: “Si mido alguna propiedad A del sistema y luego mido otra propiedad B, ¿esto produce el mismo estado que la primera medida de B y luego la de A”?

Supongo que estás preguntando cómo hacerlo, así que vamos a trabajar en un ejemplo.

El conmutador para posición y momento, que actúa sobre una función de onda [math] \ psi [/ math] es:

[math] [\ hat {x}, \ hat {p_x}] \ psi \ equiv (\ hat {x} \ hat {p_x} – \ hat {p_x} \ hat {x}) \ psi [/ math]

Expandiendo, obtenemos:

[math] x \ cdot (-i \ hbar \ dfrac {d \ psi} {dx}) – (-i \ hbar \ dfrac {dx \ psi} {dx}) [/ math]

El segundo término anterior es el diferencial de un producto. Entonces, al usar la regla del producto y luego simplificar, esto se reduce a:

[math] i \ hbar \ dfrac {dx} {dx} \ psi [/ math], que es simplemente antiguo [math] i \ hbar \ psi [/ math].

Por lo tanto, el conmutador es igual a [math] i \ hbar [/ math], que no es cero, y por lo tanto hay una incertidumbre no nula entre la posición y el momento.

Edición: se olvidó de especificar que el operador p anterior se aplica al impulso en la dirección x. Se agregaron subíndices (p-hat sub-x) para aclarar.

Answer 4

La conexión entre las incertidumbres [math] \ Delta A [/ math] y [math] \ Delta B [/ math] en la medición simultánea de dos observables A y B y el corchete del conmutador de los operadores asociados con estos observables está dada por el principio de incertidumbre que es [math] (\ Delta A) ^ {2} (\ Delta B) ^ {2} \ geq (\ frac {1} {2i} \ langle [\ hat {A}, \ hat {B }] \ rangle) ^ 2, \ hat {A}, \ hat {B} [/ math] siendo los operadores asociados con los observables A, B.