Déjame adivinar: resolviste las ecuaciones de Dirac para un átomo similar al hidrógeno y en el camino obtuviste algo como esto.
[math] \ sqrt {k ^ 2 – Z ^ 2 \ alpha ^ 2}, [/ math]
donde [math] k [/ math] es el número cuántico de Dirac que puede tener valores enteros excepto 0, [math] Z [/ math] es el número de protones del núcleo y [math] \ alpha [/ math] es la estructura fina constante muy cerca de 1/137 en valor, ¿verdad?
Y ahora se pregunta: si tomamos el orbital más bajo (1s) con [math] | k | = 1 [/ math], ¿cuál es el número más alto de protones que aún podría brindar una solución válida? Después de todo, si [math] Z [/ math] es demasiado grande, toda la expresión se vuelve negativa y la raíz cuadrada tendría que volverse imaginaria, lo que no tiene ningún sentido (¿energía imaginaria? ¿Qué es eso?).
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Debido al valor numérico de la constante de estructura fina, encontraremos que el máximo [math] Z [/ math] es en realidad [math] Z = 137 [/ math]. Por encima de este valor, la solución simplemente se descompone. Pero, ¿es este el problema de la teoría o la física subyacente real?
La respuesta es: este problema solo surge debido a la formulación del problema. A lo largo de la solución (de hecho, justo al principio) postulamos que el núcleo es puntual. Esta suposición luego conduce (aunque indirectamente) a la expresión mencionada anteriormente. Al considerar el núcleo como una partícula cargada no puntual, se alivia el problema. En realidad, sigue siendo un tema interesante y no puedo decir que esté al tanto de todos los desarrollos pasados, hay muchos artículos, incluso más recientes, escritos sobre este problema, la llamada catástrofe de Dirac en el solución atómica parecida al hidrógeno