¿Cuál es la proporción de la aceleración, debido a la gravedad, de dos planetas que tienen diferentes radios, pero están hechos del mismo material?

Answer 1

La fórmula para la aceleración gravitacional está dada por

[math] \ begin {align} g = \ dfrac {Gm} {r ^ 2} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Debido a que ambos planetas están hechos del mismo material, sus densidades [math] \ rho [/ math] son ​​idénticas. Recordemos que la masa se puede expresar como

[math] \ begin {align} m = V \ rho \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Donde el volumen [math] V [/ math] viene dado por [math] \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ math] debido a la forma esférica de los planetas. Por lo tanto, las masas de los planetas se pueden expresar como

[math] \ begin {align} \ displaystyle {m_1 = (4/3 \, \ pi {r_1} ^ 3) \ rho} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

y

[math] \ begin {align} \ displaystyle {m_2 = (4/3 \, \ pi {r_2} ^ 3) \ rho} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Dado esto, la aceleración gravitacional en el planeta [math] 1 [/ math] se puede expresar como

[math] \ begin {align} \ displaystyle {g_1 = \ dfrac {G (4/3 \, \ pi {r_1} ^ 3) \ rho} {{r_1} ^ 2}} \ end {align} \ tag * {}[/mates]

[math] \ begin {align} \ displaystyle {= G \ rho (4/3 \, \ pi r_1)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

y la aceleración en el planeta [math] 2 [/ math] como

[math] \ begin {align} \ displaystyle {g_2 = G \ rho (4/3 \, \ pi r_2)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Y así, la proporción [math] g_1: g_2 [/ math] ([math] \ phi [/ math]) es

[math] \ begin {align} \ displaystyle {\ phi = \ dfrac {G \ rho (4/3 \, \ pi r_1)} {G \ rho (4/3 \, \ pi r_2)}} \ end { alinear} \ tag * {} [/ math]

[math] \ begin {align} = \ boxed {\ dfrac {r_1} {r_2}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, la proporción de la aceleración debida a la gravedad de los dos planetas es simplemente la proporción de sus radios: [math] \ dfrac {r_1} {r_2} [/ math].

Answer 2

Bueno, según Newton, la aceleración debida a la gravedad es inversamente proporcional a R ^ 2, por lo que el planeta con más radios tiene menos aceleración que el de los más pequeños.