La energía todavía se conserva, pero solo a nivel local, no global …
Primero, recordemos que en la relatividad general, como en la relatividad especial, la energía no es una cantidad por sí sola: es parte de un vector 4 de energía-momento. Cambiar los marcos y cambiar los sistemas de coordenadas puede intercambiar energía por impulso y viceversa.
Ahora, cuando se trata de vectores en el espacio-tiempo curvo, hay que entender que un vector vive en un lugar determinado en el espacio-tiempo. Un vector es básicamente una dirección en el espacio-tiempo; diga “comenzando en la Tierra, hoy, y en dirección al Sol” define un vector en un punto.
En ciertos tiempos espaciales, es significativo tomar vectores y transportarlos a otros puntos en el espacio-tiempo; pero en general no tiene sentido hacerlo. En un espacio-tiempo totalmente general, el vector que obtiene al transportar algo desde el punto x hasta y a través de la ruta 1 es diferente a la cantidad que obtiene a través de la ruta 2. Aquí hay una imagen para ayudar a visualizar esto: 
Si comenzamos con algún vector en el Polo Norte (N) e intentamos transportarlo al punto A, obtendremos un vector diferente si tomamos el camino izquierdo (NA) o el camino derecho (NBA) en esta imagen.
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Dado que el vector que obtienes depende del camino que tomes, básicamente no tiene ningún sentido hablar del “impulso total” o “energía total”. En la relatividad especial (o incluso en la mecánica newtoniana) si desea obtener el impulso total o la energía total, debe sumar todo el impulso o toda la energía de todos los puntos en el espacio. Si tienes algo como un fluido, necesitas hacer una integral en lugar de una suma. Esto es posible en la relatividad especial porque en el espacio plano (ya sea el espacio euclidiano o el espacio de Minkowski) el transporte es independiente de la ruta. Esto significa que una suma o integral de momentos o energías es una cantidad significativa.
Sin embargo, en un espacio-tiempo general, esa suma o integral simplemente no tiene ningún sentido. No hay una manera natural de juntar todos esos vectores para sumarlos, porque si quisieras juntarlos tendrías que “llevarlos al mismo punto”. Pero como la cantidad que recibe depende de la ruta que tome, no está bien definida.
¡Pero no desesperes! Cuando pasamos de la relatividad especial a la relatividad general, perdimos algunas leyes globales de conservación, pero simplemente fueron reemplazadas por las leyes locales de conservación. El impulso energético todavía se conserva localmente en GR. Esto toma la forma de la ecuación.
[math] \ nabla_a T ^ {ab} = 0 [/ math]
donde [math] T ^ {ab} [/ math] es el tensor de impulso-estrés-energía (campo) de la materia, y [math] \ nabla [/ math] es un derivado covariante , es decir, un operador derivado que toma en cuenta La curvatura del espacio-tiempo. El tensor de tensión-energía cuantifica la cantidad de impulso, el estrés y la energía de la materia en cada punto del espacio-tiempo. Esta ecuación dice que la divergencia de la energía del estrés se desvanece en cada punto; de manera equivalente, si toma una pequeña bola en el espacio-tiempo alrededor de algún evento, la cantidad de energía-impulso que fluye hacia esa bola es la misma que la cantidad que sale, por lo que se conserva la energía-momento total. Sin embargo, debes tomar una bolita, porque si la haces demasiado grande, los efectos del espacio-tiempo curvo comienzan a jugar un papel.
Esta es la misma historia que lo que sucedió en el modelo estándar: se abandonaron las leyes globales de conservación, pero se reemplazaron con las leyes locales de conservación.
Como nota final, en ciertos períodos de tiempo todavía tiene una ley de conservación global. Esos espacios especiales son los que tienen simetrías, y del teorema de Noether hay una cantidad conservada asociada con la simetría.
Cada generador de simetría da un campo de vector de Matar.
Si el espacio-tiempo tiene una simetría de traducción similar al tiempo, obtenemos una energía conservada. Si hay una simetría de traducción similar a un espacio, obtenemos un impulso conservado. Si hay una simetría rotacional, obtenemos un momento angular conservado. Como ejemplo concreto:
- Un espacio-tiempo cosmológico es isotrópico y homogéneo en las direcciones espaciales. Esto significa que (algunas versiones de) tanto el momento espacial como el momento angular se conservan globalmente. Sin embargo, como no hay una simetría parecida al tiempo, la energía no se conserva globalmente. Esto conduce a efectos como el desplazamiento al rojo de la luz.
- Un espacio-tiempo de agujero negro (la métrica de Schwarzschild o la métrica de Kerr) son estacionarios, lo que significa que se ven iguales en todo momento. Esto significa que (alguna versión de) la energía se conserva globalmente. Sin embargo, el impulso no lo es.
- La métrica de Schwarzschild tiene tres simetrías de rotación, por lo que se conservan los 3 componentes del momento angular.
- En contraste, la métrica de Kerr solo tiene una simetría rotacional (porque el agujero negro tiene un eje de rotación). Esto significa que solo se conserva la componente del momento angular a lo largo del eje de rotación.