¿Cuál es la mayor brecha posible entre los números primos sucesivos?

Answer 1

La brecha promedio crece logarítmicamente, y se ha demostrado (Westzynthius 1931) que las brechas máximas crecen más que logarítmicamente. Dado que hay infinitos números primos, las brechas no tienen máximo.

De la revisión de ese documento, “… hay infinitos números primos [math] p_m [/ math] para los cuales [math] p_ {m + 1} – p_m> (4- \ epsilon) \ log {p_m} [/ matemáticas] ”entre otros comentarios.

Si tomamos la pregunta de forma ligeramente diferente, entonces creo que el mejor resultado es que [math] [x, x + x ^ {0.525}] [/ math] contiene un número primo para [math] x [/ math] grande. Esa es una gran brecha posible. La conjetura de Oppermann es que [math] g_n <\ sqrt {p_n} [/ math]. También una brecha enorme y solo una conjetura. Las brechas máximas están siguiendo de forma más estrecha en términos empíricos [math] c \ log ^ 2 (x) [/ math], pero tenemos datos limitados. El artículo de 1995 de Granville "Harald Cramér y la distribución de los números primos" está lleno de información interesante sobre el tema.

Answer 2

En realidad no es difícil construir espacios arbitrariamente grandes entre números primos sucesivos.

Primero, note que si [math] n \ geq i [/ math], luego [math] n! [/ math] tiene un factor de [math] i [/ math]. Por lo tanto, [math] n! + i [/ math] es divisible por [math] i [/ math].

Entonces, para cualquier entero positivo [math] n [/ math], la secuencia de números de [math] n! + 2 [/ math] a [math] n! + n [/ math] es una secuencia de [math] n – 1 [/ math] números compuestos. El primero es divisible por 2, el segundo por 3, y así sucesivamente.

Por lo tanto, podemos encontrar fácilmente huecos de cualquier tamaño mínimo dado.

Answer 3

La mayor brecha entre los números primos sucesivos es ilimitada. Cuanto mayor sea el número primo, mayor será la brecha promedio entre este y su sucesor o predecesor.

El teorema de los números primos establece que la densidad de los primos converge a cero, por lo tanto, no puede haber ningún espacio primo máximo [math] g_ {max} [/ math]. La probabilidad de que un número aleatorio que no sea mayor que [math] N [/ math] sea primo está cerca de [math] \ frac {1} {\ ln N} [/ math], lo que significa que la brecha promedio entre un El número primo alrededor de [math] N [/ math] y su sucesor es aproximadamente [math] \ ln N [/ math].

Un resultado interesante es también el postulado de Bertrand: para cada entero [math] n \ ge 2 [/ math] existe al menos un número primo [math] p [/ math] tal que [math] n

Ver Prime gap – Wikipedia para más detalles.

Answer 4

Es ilimitado, porque

¡norte! no es primo para todos n> 2. Porque n es claramente divisible por 2,3,4,…, n, entonces n! + x (2 <= x <= n) tampoco es primo porque puede dividirse a través de x. Así que no hay límite superior hasta qué punto pueden ser partidas dos primos. A partir de n! Ahí siguen al menos n-1 no primos.

Answer 5

Agregaré a las otras respuestas una implicación del teorema de los números primos.

Si hubiera un espacio máximo (por ejemplo, x) entre primos consecutivos, la densidad de los primos debe ser mayor que 1 / (x + 1) de 1 a n para cualquier n. Pero el teorema de los números primos dice que la densidad de los primos debajo de n es aproximadamente 1 / ln (n), que se aproxima a 0 cuando n se acerca al infinito. Así que no solo los números primos pueden estar arbitrariamente alejados, sino que cada vez son más comunes a medida que uno sube la línea numérica.

Answer 6

Por lo que yo sé, no lo sabemos. Dado que hay una infinidad de números primos, cualquier brecha que conozcamos en este momento podría ser superada por otro descubrimiento una vez que alguien resuelva los números primos en mayor medida de lo que se ha hecho hasta ahora.