Filosofía: ¿Puedes enumerar cuántas veces sigues diciendo que [math] 10 ^ n \ neq 999… 999 [/ math], donde [math] n [/ math] es el número entero positivo de dígitos repetidos de 9?

Answer 1

Considera lo siguiente:

Para cada [math] \ epsilon> 0 [/ math], existe algo de [math] M> 0 [/ math] tal que para cada [math] x [/ math] es el caso de que si [math] x> M [/ math], luego [math] 0 <\ lvert \ frac {10 ^ x-1} {10 ^ x} -1 \ rvert <\ epsilon [/ math].

¿Estás de acuerdo con esto?

Vamos a descomprimir eso de todos modos. Dice que si selecciono un número positivo [math] \ epsilon [/ math], y puedo hacerlo tan grande o tan pequeño como me guste, puede elegir algún número [math] M [/ math] para que la función [math] f (x) = \ frac {10 ^ x-1} {10 ^ x} [/ math] es lo más cercano a [math] 1 [/ math] como quieras. Eso significa que no importa lo pequeño que elija [math] \ epsilon [/ math], siempre puedes encontrar algo de [math] M [/ math] para que esta relación se mantenga.

Lo que esto significa es que cuando [math] x [/ math] se vuelve arbitrariamente grande, [math] f (x) [/ math] se vuelve arbitrariamente cerca de [math] 1 [/ math].

Mire, acabamos de usar la definición de un límite para demostrar que [math] 0. \ dot {9} = 1 [/ math]. Huzzah! Debido a que [math] x [/ math] más grande se vuelve, más se acerca la relación a [math] 1 [/ math].

Esto no invalida el hecho de que para cualquier [matemáticas] x [/ matemáticas] finita la proporción no es igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Nadie discute eso. Los hechos son complementarios . No contradictorio.

Tu prueba falla porque no puedes “simplemente dividir” entre [math] 10 ^ n [/ math] cuando [math] n [/ math] es infinito. Lo que usted produce es una forma indeterminada que necesita una maquinaria más sofisticada para determinar. Maquinaria como el concepto de un límite. Y si te fijas bien, la definición del límite no nos pide que utilicemos infinito de todos modos. Pero nos permite colocar límites rigurosos en los valores de las cosas a medida que los procesos continúan en una longitud arbitraria.

El paso que no está dispuesto a dar es comprender que el límite es la “finalización” abstracta de un proceso por lo demás infinito. Eso significa que el valor de [math] 0. \ dot {9} [/ math] realmente es el mismo que el valor de [math] 1 [/ math]. Para hacer cualquier tipo de matemáticas, tienes que ser capaz de entretenerte con la abstracción, y tienes que dejar de quedarte atascado en las representaciones de las cosas. La misma “cosa” puede representarse arbitrariamente de muchas maneras, y algunas de ellas pueden parecer bastante “divertidas”, especialmente si opta por rechazar arbitrariamente algunas de las abstracciones con las que normalmente participamos, lo que permite que algunas de estas representaciones signifiquen algo.

Míralo de esta manera: de acuerdo con las reglas normales de las matemáticas, los significados normales de los símbolos y de nuestro sistema numérico, no puede ser más que eso [math] 0. \ dot {9} = 1 [/ math] , o si no hay una contradicción. Si elige un conjunto diferente de axiomas, o si se adhiere a ciertas restricciones, entonces en ese sistema en particular puede ser cierto que [math] 0. \ dot {9} \ ne 1 [/ math], porque – lo más probable – el lado izquierdo de esa expresión se vuelve sin sentido en ese sistema en particular .

Pero en el sistema normal, de acuerdo con las reglas normales, podemos dar un significado sensible a la expresión [math] 0. \ dot {9} [/ math], y cuando lo evaluamos, su valor es el mismo que [math ] 1 [/ math]. A menos que establezca sus axiomas de manera explícita, preferiblemente simbólicamente, con definiciones claras y precisas de todos los símbolos que usa, va a dar vueltas en círculos tratando de probar algo que no se puede probar, porque su negación es la afirmación de un teorema con muchos pruebas válidas.

Y si establece sus axiomas de manera clara y precisa, y en qué sistema la expresión [math] 0. \ dot {9} [/ math] no tiene sentido o no es igual a [math] 1 [/ math], entonces es probable que gane No veo mucho argumento. Pero tendría que reconocer que ese sistema no es el mismo que el que casi todos los demás usan para hacer matemáticas, en el que la afirmación [math] 0. \ dot {9} = 1 [/ math] es verdadera (debido a su forma, no por su contenido (como para todos los teoremas).

Answer 2

“cuando [math] n [/ math] es infinito, también resultaría en una declaración verdadera” – Esto es falso.

El método de inducción prueba que su declaración es válida para todas las [matemáticas] n [/ matemáticas] finitas . Esto no dice absolutamente nada acerca de tomar el límite cuando [math] n [/ math] se acerca al infinito. Probar que cada elemento en una secuencia contiene alguna propiedad no prueba que la propiedad se mantenga por el límite de la secuencia.

Como ejemplo, considere la secuencia [math] \ left \ {\ frac {1} {n} \ right \} _ {n \ in \ mathbb {N}} = \ left \ {1, \ frac {1} { 2}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {4}, \ ldots \ right \} [/ math]. Puede ver claramente que cada elemento de la secuencia es un número positivo. Sin embargo, el límite de la secuencia es [math] 0 [/ math] (una declaración que está completamente justificada por la definición formal del límite de una secuencia!), Que no es positiva.

Cada elemento de la secuencia es positivo. No hay ningún punto en el que los elementos se vuelvan repentinamente cero, pero el límite de la secuencia no comparte esta propiedad. Puede ayudarlo a pensar en el límite de una secuencia como una propiedad de la secuencia, en lugar de una parte de la secuencia en sí.

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Que haya una falla en tu lógica se vuelve aún más claro en la imagen de abajo.
Al aire libre

Aquí hay una secuencia de formas que convergen en un círculo perfecto. Cada miembro de la secuencia de formas tiene un perímetro de [math] 4 [/ math], pero debería estar claro para todos los que lean esto que la circunferencia de un círculo de diámetro [math] 1 [/ math] no es [math] 4 [/ math], es [math] \ pi [/ math].

Lo que está sucediendo aquí es exactamente lo que sucedió en la secuencia que definí anteriormente y en tu publicación original. Todos los elementos de la secuencia de formas tienen la propiedad de que el perímetro es [math] 4 [/ math], pero esto no implica nada sobre el perímetro del límite de la secuencia de formas.

Answer 3

La prueba por inducción no es válida, ya que la inducción es un medio para probar todo n, no un límite n se acerca al infinito. No tenemos un teorema o definición que diga que la desigualdad sigue siendo la desigualdad en ese límite. De hecho, en muchos casos lo contrario es cierto.

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Siendo físico, cuento 1, 2, 3, muchos, infinito.

[math] 10 ^ n [/ math] = muchos

999… 999 = muchos

Es decir.

[math] 10 ^ n [/ math] está lo suficientemente cerca de 999 … 999, probablemente los consideraría equivalentes para la mayoría de los usos. Solo porque sé sobre cosas como la cancelación catastrófica, no lo consideraría lo suficientemente cerca en ciertas operaciones como la igualdad estricta o la diferencia. Entonces la diferencia es siempre 1, no 0. Lo que no está lo suficientemente cerca. La diferencia entre 0.999 … y 1 es un valor pequeño, digamos x, que se aproxima a 0 cuando n se acerca a 0. Así que nunca debo preocuparme por una diferencia hipotética.

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Ahora intentemos algo más formal:

Definir para todos [math] n> 0 [/ math]:

[math] A_n \ equiv 10 ^ n [/ math]

[math] B_n \ equiv 9 \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} {10 ^ i} [/ math]

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¿Es [math] A_n = B_n [/ math]?

[math] 0 \ neq -1 [/ math]

[math] A_n \ neq A_n – 1 [/ math]

Por lo tanto,

[math] A_n \ neq B_n [/ math]

QED

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¿Es [math] \ frac {A_n} {A_n} = \ frac {B_n} {A_n} [/ math]?

[math] A_n \ neq B_n [/ math]

Por lo tanto,

[math] \ frac {A_n} {A_n} \ neq \ frac {B_n} {A_n} [/ math]

QED

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¿Es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} A_n = \ lim_ {n \ to \ infty} B_n [/ math]?

Estrictamente hablando esto no está definido. Así que vamos a intentar una pregunta alternativa.

¿Es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} {A_n-B_n} = 0 [/ math]?

Para todos [math] n> 0 [/ math],

[math] A_n-B_n = 1 [/ math]

Por lo tanto,

[math] \ lim_ {n \ to \ infty} {A_n-B_n} = 1 [/ math]

Ya que,

[math] 1 \ neq 0 [/ math]

Concluimos,

[math] \ lim_ {n \ to \ infty} {A_n-B_n} \ neq 0 [/ math]

QED

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Finalmente, es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {A_n} {A_n} = [/ math] [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {B_n} {A_n} [/ mates]?

En este caso, nuestros límites son finitos, por lo que esto se define estrictamente …

[math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {A_n} {A_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {A_n} {A_n} [/ math]

[math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {A_n} {A_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {B_n + 1} {A_n} [/ math]

[math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {A_n} {A_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} ({\ frac {B_n} {A_n} + \ frac {1} {A_n}} )[/mates]

[math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {A_n} {A_n} = (\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {B_n} {A_n}) + (\ lim_ {n \ to \ infty } \ frac {1} {A_n}) [/ math]

[math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {A_n} {A_n} = (\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {B_n} {A_n}) + 0 [/ math]

Por lo tanto,

[math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {A_n} {A_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {B_n} {A_n} [/ math]

QED

Answer 4

Hay varios problemas con su prueba, muchos de los cuales se resaltan en las otras respuestas. Un problema es que si tiene una no-igualdad [math] (\ not =) [/ math] y deja que n vaya al infinito, el resultado no da necesariamente la no igualdad. Por ejemplo:

[math] 1 \ not = 2. [/ math] [math] 1+ \ frac {1} {2} \ not = 2 [/ math]. [math] 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} \ not = 2 [/ math]. [math] 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} \ not = 2 [/ math]. De hecho, [math] \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {2 ^ i} \ not = 2 [/ math] para cada entero no negativo n. Sin embargo, [math] \ sum_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ i} = 2. [/ Math] Otro ejemplo es que si una secuencia de números convergente es siempre menor que 1, entonces Lo único que podemos decir en general sobre el límite de esa secuencia es que es menor o igual a 1, por lo que puede tener 0.99999 no igual a 1 para cualquier número de 9 que desee, pero cuando va al infinito, puede solo diga que es menor o igual que uno, por lo que no puede descartar la igualdad con este método.

Ahora otro problema es que estás dividiendo por el infinito. De hecho, estás dividiendo el infinito por el infinito. Eso no está bien definido, ya que el infinito no es un número, y la división no está definida en él.

Finalmente, ofrezco dos pruebas simples de que, de hecho, [math] 0.99999… = 1. [/ Math]

Prueba 1: [math] \ frac {1} {3} = 0.33333…. [/ Math] Multiplica ambos lados por 3 y [math] 1 = \ frac {3} {3} = 0.99999…. [/ Math]

Prueba 2: Sea [math] x = 0.999999…. [/ Math] Luego multiplica ambos lados por 10, [math] 10x = 9.99999…. [/ Math] Luego, si resto:

[math] 9x = 10x-x = 9.99999… -0.99999… = 9. [/ math] Dividiendo ambos lados entre 9, [math] x = \ frac {9} {9} = 1. [/ math]

Answer 5

Hay varias explicaciones realmente buenas de dónde te equivocas.

Tomaré un enfoque ligeramente diferente y usaré su propio razonamiento para demostrar que 1 <1.

Compara [math] 10 ^ n [/ math] y [math] 10 ^ n + 1 [/ math]. El primero siempre es más pequeño que el segundo, para cualquier [math] n [/ math]. Ahora, divida ambos lados por [math] 10 ^ n [/ math] y obtendría que [math] 1 <1.00 \ ldots001 [/ math] para cualquier número de 0 en la expansión decimal. De acuerdo con su razonamiento, la desigualdad aún se mantendría para un número infinito de ceros, lo que significa 1 <1. ¿Crees esto o ves el error en el razonamiento?

Answer 6

Su argumento es correcto hasta la declaración:

“Dividir ambos lados por [math] 10 ^ n [/ math], cuando [math] \ mathbf {n} [/ math] es infinito …”

Espera un poco.

El infinito no es un número natural. Así que tu prueba se rompe ahí abajo.

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Aquí hay otra forma de ver esto.

Ignorando la declaración anterior que cité por un momento, ha demostrado que las declaraciones en la lista infinita

[math] 0.9 \ ne 1 [/ math]

[math] 0.99 \ ne 1 [/ math]

[math] 0.999 \ ne 1 [/ math]

[math] 0.9999 \ ne 1 [/ math]

[math] \ vdots [/ math]

son todos ciertos Pero tenga en cuenta que ninguno de los decimales en el lado izquierdo de las ecuaciones anteriores tiene un número infinito de dígitos en su expansión decimal . Entonces su prueba ni siquiera consideró el número [math] 0.999999 … [/ math] en absoluto.

Esto es similar a afirmar que la luna está hecha de queso Camembert al demostrar que la luna orbita la Tierra.

Answer 7

Lo que has “probado rigurosamente” es que para todos los números naturales [math] n [/ math],

[math] 9 \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {n-1} 10 ^ i = 10 ^ n-1 \ neq10 ^ n [/ math]

[math] \ Leftrightarrow \ frac9 {10 ^ n} \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {n-1} 10 ^ i = \ dfrac {10 ^ n-1} {10 ^ n} \ neq1 [/ math ]

Esto, sin embargo, no implica

[math] 9 \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- i} \ neq1 [/ math]

Al igual que [math] n \ in \ mathbb N \ Rightarrow n + 1 \ in \ mathbb N [/ math] no implica [math] \ infty \ in \ mathbb N [/ math].

Answer 8

Esto es una confusión acerca de los límites, como muchos otros señalaron. También es una confusión sobre la notación de radix.

Las cadenas de números decimales finitos denotan de manera única todos los números racionales (con la convención de que se omiten los ceros iniciales y finales innecesarios).

Extender la notación para permitir secuencias de dígitos infinitos a la derecha del punto decimal nos permite etiquetar de forma única a todos los miembros de un conjunto de secuencias incontables que tienen límites superiores entre los racionales en (0,1).

Un subconjunto contable de estos tiene límites mínimos superiores racionales y, por lo tanto, límites racionales. Adoptamos la convención de que el valor representado, a diferencia de la secuencia denotada, es ese límite. Pero cada número racional ya tiene una representación finita.

“.999 … = 1”

significa que ahora se entiende convencionalmente que dos secuencias distintas representan el mismo valor racional.

Es un artefacto de notación, nada más.

Para dar sentido al conjunto incontable de todas las otras fracciones infinitas, tenemos que extender el sistema numérico racional a los reales. En cierto sentido, las secuencias fraccionarias que no convergen a los racionales “definen” los reales no racionales (únicamente).

Answer 9

Tienes razón: puedes probar con la inducción que esos dos números no son iguales a todos los números finitos [math] n [/ math]. Sin embargo, esa prueba no muestra que esos números sean diferentes para una secuencia infinitamente larga. Y de hecho, en ese caso las dos expresiones representan el mismo número.

Answer 10

[math] 999… .999 [/ math] representa [math] n [/ math] [math] 9 [/ math] ‘s, donde [math] n [/ math] es un entero positivo. [math] 0.999… [/ math] representa una cadena infinita de [math] 9 [/ math] ‘s. Su prueba muestra que. [Math] 9 \ neq 1 [/ math], [math] .99 \ neq 1 [/ math], etc. Sin embargo, [math] 0.999 .. [/ math] puede ser igual a [math] 1 [/ math] porque la cantidad de [math] 9 [/ math] no es un número entero positivo; hay infinitas [math] 9 [/ math] ‘s.

Answer 11

Su declaración, reescribiendo 999… 9999,

[math] 10 ^ n \ ne 10 ^ n – 1 [/ math]

es claramente cierto para cualquier n . No tiene sentido preguntar “cuántas veces lo dices”, puedes decirlo tantas veces como quieras. Sin embargo, ambos lados tienden hacia el infinito como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math], lo que significa exactamente que “no hay límite para el tamaño de cada lado si uno no impone un límite superior en n “.

Por otro lado, el lado izquierdo de la segunda expresión va a 1 cuando n tiende a infinito, o reescribir [math] 0.9999… = 1 – 10 ^ {- n} [/ math]

[math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 1-10 ^ {- n} = 1 [/ math],

lo que de nuevo significa “sin límite superior en n , no hay límite en qué tan cerca la expresión puede llegar a 1″.

Esta es siempre la forma en que deberías pensar en tales declaraciones que involucran infinitos, y tengo la impresión de que esto es lo que te confundió.