¿Cuáles son algunas posibles soluciones a los problemas de los axiomas?

Answer 1

Voy a estar de acuerdo con el interrogador de que hay un problema con los axiomas. He estado viendo la serie de fundamentos matemáticos de Norman Wildberger Mathematical Foundations (MathFoundations). Es un buen caso en contra de la forma en que se usan los axiomas en la actualidad. Trataré de explicar un poco su caso porque creo que es importante escucharlo.

Los axiomas sirven como punto de partida para las matemáticas. Un axioma solía ser algo evidente que no necesita prueba. Los cinco postulados de Euclides son el ejemplo canónico. Por supuesto, con nuestra perspectiva moderna, sabemos que los postulados no son tan evidentes como el pensamiento de Euclides.

Hemos recorrido un largo camino. Ahora los axiomas son a menudo solo hechos convenientes que se asumen. Es como si los matemáticos se convirtieran en dioses que solo pueden decir “dejar” y conjurar lo que quieran.

El objetivo principal del Dr. Wildberger son los números reales. Sospecha de cualquier cosa que asuma que se puede hacer una cantidad infinita de cálculos, y los números reales están llenos de eso. Los conjuntos infinitos, las secuencias infinitas, los límites, los cuantificadores, etc. son problemáticos cuando aceptamos que, como seres finitos, no somos capaces de hacer una cantidad infinita de trabajo.

Si hubiera una historia fácil de cómo extender los racionales a los reales, todo libro de cálculo y análisis lo tendría. Podrías contemplar la construcción de los reales. Podrías probar las propiedades de campo y orden. Podrías calcular con números reales.

En su lugar, casi todos estos libros solo desplacen y enumeran los axiomas para los números reales. Los reales se conjuran, no se construyen. ¿Por qué preocuparse si tienen sentido cuando solo podemos enumerar las propiedades que necesitamos de ellos?

Hay construcciones de los reales, se objetan. Decimales infinitos, secuencias de Cauchy, cortes de Dedekind, fracciones continuas. El Dr. Wildberger expone sistemáticamente las debilidades en cada construcción, a menudo un resultado de los infinitos en los conceptos de conjunto y secuencias. Aquí hay un desafío: use los cortes de Dedekind para calcular [math] \ pi + e [/ math].

No quiero seguir por mucho más tiempo, pero supongo que un ejemplo podría valer la pena. Toma la idea de que un número real es un decimal infinito. Incluso solo escribir uno es imposible. Tendríamos que elegir cada uno de un número infinito de dígitos. Eso no suena posible. Lo sé, agreguemos el Axioma de elección que dice que podemos hacer eso. Problema resuelto.

Answer 2

La pregunta es: “¿Cómo podemos saber algo si cada prueba debe basarse en suposiciones?”, ¿Verdad?

En los días de Pitágoras y Euclides, un axioma era, por definición, supuestamente verdadero para todos. Luego, si aceptas los axiomas, debes aceptar sus ramificaciones. Pero hoy sabemos que ningún axioma es universalmente aceptado.

La solución es que cada axioma se toma solo de forma temporal o provisional. Ya no asumimos los axiomas de geometría de Euclides, por ejemplo. En cambio, todo teorema se entiende como una afirmación acerca de esos axiomas. Todo teorema está escrito en la forma: “Si esto fuera cierto, entonces también lo es”.

La aplicación de la lógica o las matemáticas al mundo real presenta otro problema para los científicos. Los axiomas son a menudo de tal naturaleza que nadie sabe si son verdad de nuestro universo. La solución para la ciencia es (idealmente) tratar cada axioma como una hipótesis, y al final, si las deducciones no se contradicen, tratar de falsificar el axioma (con respecto a nuestro propio universo) mediante experimentos y otras observaciones. del mundo real.

Pero una vez resuelto el problema de los axiomas, hay otro problema para los científicos: ¿los sentidos revelan con precisión el mundo como realmente es? Así que volvemos a tener que confiar en algo, creer en algo sin pruebas, para saber algo.

Este problema persiste. Al ignorarlo, los científicos abrazan implícitamente la creencia de que nada se puede saber sin antes tener fe en algo. Pero afirmo que las suposiciones bloquean el progreso, impiden el conocimiento. El conocimiento de este mundo solo es posible en ausencia de suposiciones. No debemos confiar en los axiomas ni en los sentidos. Además afirmo que esto no es imposible.

Eso es lo que quiero decir cuando me llamo un nihilista optimista (un término que inventé). Que no creo en nada excepto tentativamente (que no es fe), y que tentativamente creo que el conocimiento todavía es posible a través de extrema precaución.

Answer 3

(a2a) Primero que nada, de acuerdo con las otras respuestas, rechazo la noción de que hay algo de problemático acerca de los axiomas. Apenas son puntos de partida para las investigaciones matemáticas.

Estoy especulando aquí, pero quizás el razonamiento que convierte los axiomas en problemas reside en el vínculo entre las matemáticas y el mundo real. A veces las matemáticas se aplican a problemas del mundo real. En ese caso, uno construye un mapeo entre los objetos matemáticos y los del mundo real; y entonces es importante que los axiomas matemáticos sean válidos en el mundo real.

Para eso es el método científico: en ese caso, lo que uno hace es diseñar experimentos para intentar falsificar los axiomas, mostrarlos como falsos en el mundo real. Si esos experimentos fallan, ganamos confianza en la relación entre el modelo matemático y la realidad. Pero, como los científicos han aceptado hace mucho tiempo, uno nunca puede estar 100% seguro.

Todo esto se aplica solo cuando nos importa el significado de las matemáticas en el mundo real. Pero las matemáticas también pueden estudiarse por su propio bien: la pregunta entonces no es si los axiomas son válidos, sino cuáles serían las consecuencias de esos axiomas si decidimos que son verdaderos. En esta perspectiva, los axiomas son solo los puntos de partida para una investigación, y es difícil ver cómo eso es problemático de alguna manera.

Answer 4

No estoy seguro de qué es ” el problema de los axiomas “, pero la ecuación

[math] 1 + 1 = 2 [/ math] no suele considerarse axiomático.

(Editar: esta ecuación fue dada originalmente en los detalles como una ilustración de “los problemas”.)

Más bien, los axiomas de Peano generalmente definen [math] 1 \ equiv s (0) [/ math] y [math] 2 \ equiv s (1) \ equiv s (s (0)) [/ math]. Luego hay dos axiomas para sumar ese estado:

1. [math] n + 0 = n [/ math]
2. [math] n + s (m) = s (n + m) [/ math]

De lo cual podemos demostrar que

[math] 1 + 1 = 1 + s (0) = s (1 + 0) = s (1) = 2 [/ math]

No hay problema (de axiomas o de otro tipo)!

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Edición: desde entonces se ha dado un nuevo ejemplo de “los problemas” como el hecho de que “no se pueden probar”. Bueno, ciertamente son suposiciones, pero si son válidas es el problema de modelar la realidad con las matemáticas. Los científicos deben validar que su modelo es preciso, pero ese es un problema de la ciencia empírica en lugar de un “problema con axiomas” per se.

Answer 5

Cuando realmente te pones al día, todas las matemáticas pueden reducirse a afirmaciones como “Si A, entonces B”, donde A denota tus suposiciones (tus axiomas) y B denota las consecuencias. Por supuesto, no puedes tener consecuencias sin explicar primero las reglas del juego. Realmente no creo que esto sea un problema.

Por supuesto, si está buscando aplicar el conocimiento de que “Si A, entonces B” a algún problema del mundo real, entonces tiene un gran trabajo para usted: necesita encontrar algo en el mundo real que se comporte de acuerdo con ” A “, para que luego puedas concluir que” B “también debe ser cierta.

Answer 6

Creo que una cosa que ayudaría sería que los matemáticos puros redirigieran parte del tiempo y la energía que gastan actualmente para impresionar a los demás con sus “pruebas” para alertar al resto de nosotros, simples mortales, de que simplemente están participando en gimnasia mental. no necesariamente (y con frecuencia no) se aplican de ninguna manera o en ningún grado al mundo real. También ayudaría si los físicos reexaminaran periódicamente los axiomas matemáticos que se han infiltrado en sus teorías para determinar si aún parecen tener relevancia y aplicabilidad en el mundo real. Nunca te olvides de GIGO.

Otra cosa que creo que ayudaría sería que los matemáticos aclararan cuáles son los axiomas que están usando en sus pruebas. al menos cuando se utiliza un nuevo axioma o uno que no se aplica generalmente a la pregunta en cuestión. Pienso que es interesante, por ejemplo, que Descartes, al desarrollar su sistema de coordenadas, que ahora es universalmente aceptado, asigne a cada punto en el espacio geométrico lineal un solo número de la recta numérica y, al hacerlo, use un axioma (1: Una correspondencia de número y espacio. Parece que nunca lo ha dejado claro, quiero decir que fue un axioma y no fue probado. Entonces, piense en todas las aplicaciones del mundo real que se basan en este axioma nunca probado que, en general, ni siquiera se sabe que existe como la base axiomática de las coordenadas cartesianas. Puede que no importe para las aplicaciones de macroworld, pero puede que para estados cuánticos subatómicos. De hecho, la mecánica cuántica permite que más de un bosón ocupe una sola posición en el espacio. ¿Cómo es que eso sucede exactamente? Creo que no simplemente formulando QM usando números complejos. Hay más involucrado que eso. QM debe ser al final una refutación de los números reales y complejos si permite que dos estados cuánticos compartan el mismo espacio.

Answer 7

No hay problemas de axiomas. Parece que puede haber un pequeño malentendido de lo que es la matemática. Podría simplificar un todo (un campo muy profundo y hermoso) en un pequeño post de Quora. Entonces, matemáticos, hombres sabios, no me maten. Es sólo para abordar un pequeño malentendido.

Piensa en las matemáticas como un juego. Quieres poder descubrir caminos a través de tu juego y llegar a lugares increíbles en el juego, pero para que el juego tenga sentido, tiene que haber reglas sobre cómo puedes moverte. De lo contrario, cualquier cosa está permitida y es posible que obtengas un juego que no tiene sentido. Por lo tanto, los axiomas son las reglas más básicas que normalmente no pueden simplificarse para que puedas comenzar a jugar. Así que no hay un problema con los axiomas, son los bloques de construcción necesarios para que los matemáticos resuelvan acertijos y se muevan en el juego.

O ver las matemáticas un lenguaje hermoso. En un idioma tienes que definir qué significa una palabra. Puede definir las palabras en términos de otras palabras, pero no puede hacer esto (repetirse) indefinidamente, de lo contrario, nunca terminará y no sabrá qué significan las palabras. Imagine tratar de hablar un idioma donde no hay palabras definidas o donde hay ciclos. Nunca sabrías lo que significan las cosas y no podrías hablar. Entonces, para poder hablar (en el lenguaje de las matemáticas) necesitas algunos bloques de construcción de donde están hechas las cosas. Esta es otra razón por la que uno necesita axiomas.

Puedes verlo así, los axiomas están aquí para tratar de detener la pregunta “por qué”, “por qué”, “por qué” para continuar por siempre. En algún momento tenemos que parar o no podemos hacer nada.

Esta es una forma de ver los axiomas (o mi manera). Puede que haya más información sobre las explicaciones que un profesor de matemáticas pueda dar, estoy seguro, pero ¿podría ser este un buen punto de partida?

Así que mi punto es que no hay problemas con los axiomas, en todo caso, los axiomas son una solución al gran problema de la recursión infinita.

Además, no interprete que mi respuesta dice que no debe hacer preguntas a los axiomas. Deben ser interrogados y estudiados y asegurarse de que tengan sentido para que el juego / lenguaje de las matemáticas tenga sentido, pero como una persona que le gusta hacer modelos del mundo, uno solo tiene que hacer reglas que tengan sentido con el mundo que nosotros tenemos. tener. Entonces, si tus axiomas no son útiles, ¡considera un conjunto diferente que tenga sentido en la configuración que te interesa! Además, que yo sepa, los axiomas han sido estudiados en detalle por expertos reales y existe un consenso de que tenemos buenos axiomas. Google más si estás más interesado en esto.