Esta serie diverge. No es igual a -1/12 como algunos reclaman. Hay dos tipos comunes de “pruebas” que las personas proporcionan para esta declaración y ambas tienen fallas.
El tipo más común de prueba defectuosa (y lo veo en algunas de las respuestas aquí, supone que puedes simplemente reorganizar los términos de cualquier serie infinita y aún así obtener la misma respuesta. Esto no siempre es cierto porque la propiedad conmutativa de la adición no es válido para todos los tipos de series infinitas. La propiedad conmutativa nos dice que podemos sumar números en cualquier orden y la respuesta siempre será la misma, por lo que a + b = b + a. Esta propiedad solo se aplica a series infinitas que Sin embargo, son absolutamente convergentes. Una serie absolutamente convergente es aquella en la que las series convergen y las series compuestas por el valor absoluto de cada uno de los términos también convergen. Para obtener una explicación de por qué esto es cierto, haga una investigación sobre el Teorema de reordenamiento de Riemann. Aquí hay una explicación bastante sencilla: Página en washington.edu
Las supuestas pruebas de muchas personas de que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 … converge a -1/12 aseguran que puede reorganizar o cambiar los valores de la serie 1-1 + 1-1 + 1-1 … y agregarlo a sí mismo para encontrar a qué valor converge. Sin embargo, no puede cambiar o reorganizar los términos de esta serie, ya que no es absolutamente convergente. Podemos ver esto sin siquiera verificar si la serie en sí es convergente porque la serie formada por el valor absoluto de los términos claramente difiere. Las sumas parciales de las series 1 + 1 + 1 + 1 + 1 … vienen dadas por la función s (n) = n. El límite cuando n se acerca al infinito de s (n) = n es claramente infinito, por lo que la serie no converge. Por lo tanto, 1-1 + 1-1 + 1 … no puede ser absolutamente convergente. Por lo tanto, los términos de la serie no se pueden reorganizar y aún así dar la misma suma, y el método completo de moverse alrededor de los términos y agregar la serie a sí mismo no es matemáticamente válido.
Otros citarán la función Zeta de Riemann para mostrar que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6… = -1/12, pero esto se debe a una suposición incorrecta acerca de la función Zeta de Riemann. Mucha gente parece creer que esta es la función real de Riemann Zeta: 
(La letra ondulada es una zeta, por cierto).
Si ese fuera el caso, la función Zeta de Riemann cuando s = -1 sería igual a 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 … Además, zeta (-1) realmente es igual a -1/12. Es cierto entonces, ¿verdad? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 … ¿realmente es igual a -1/12? ¡No! La ecuación en la imagen es un impostor! Esa fórmula solo dará los mismos valores que la función Zeta de Riemann cuando s tiene un componente real mayor que 1 (si no sabe qué es un número complejo, piense que esta condición es s> 1). -1 es, por supuesto, menos de 1, por lo que necesita la función real de Riemann Zeta aquí, que se ve así:
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Cuando conectas -1 en for s aquí, no solo obtienes la serie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6…, sino que obtendrás -1/12. Se podría pensar que el valor zeta es análogo de alguna manera a la suma de esta serie, pero no son exactamente lo mismo. Es el valor dado por la función Riemann Zeta que tiene aplicaciones reales en física y matemáticas, mientras que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 … simplemente diverge.
¡Espero que esto ayude!
Si desea una explicación mucho mejor de la función Zeta de Riemann que no requiere muchos conocimientos avanzados de análisis complejo, le sugiero que consulte esta fuente: Página en jhu.edu
