¿Qué es exactamente el espacio, subespacio y la base de un espacio vectorial?

Answer 1

Esta es Wendy Torrance . Wendy tiene un niño lindo llamado Danny Torrance. El esposo de Wendy, Jacky-Boy, acaba de conseguir el trabajo en The Overlook Hotel en Colorado, Denver, como cuidador durante el invierno. Wendy y Danny están haciendo las maletas cuando Danny le pregunta a su madre:

“Mamá. ¿Puedo llevarme estos colores de pintura al óleo al hotel?

“¡Oh! Claro cariño, ¿por qué no? Pero como tenemos que empacar la luz, (¡sabes que el VW de tu papá no puede soportar mucha carga ahora!), Quiero que solo aprendas unos pocos colores para pintar. ¿Sabes que? El mirador tiene un entorno verde. ¿Por qué no escoges colores que son solo verdes, o una combinación que puede crear verde? “Sugirió Wendy.

Ahora, Danny, un niño de 5 años, aunque joven brilla mucho. Él era inteligente. Entonces, ¿comenzó a pensar qué colores puedo tomar?

Entonces, Danny sacó un espectro de colores de su mochila escolar (que le dio su amigo Tony ). Dividió el espectro con un rotulador en 4 secciones como se muestra arriba.

Ahora, pensó,
¿Puedo tomar el color de la sección ‘C’? ¡Bueno, sí! Mamá dijo que podía tomar verde.

Pero, ¿qué hay de A y B? Mamá dijo, yo podría tomar colores que se pueden usar para crear verde. Así que el azul y el amarillo pueden hacer verde para mí.

¿Qué hay de verde oscuro? Quiero decir, puedo agregar color negro a verde para obtener un verde oscuro de la sección D, ¿no? ¡Todavía está verde!

Entonces, nuestro chico Danny eligió todos los colores de A, B, C y D.

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Esto se llama como un espacio vectorial.

Wendy le dio un espacio vectorial para crear con ciertos axiomas para satisfacer.

Los axiomas para un espacio vectorial son: (estoy evitando definiciones técnicas)

1. Debe contener un vector nulo. (Color verde en sí! Sección C)
2. Se puede agregar un vector con otro vector del mismo espacio vectorial y la combinación debe caer en el mismo espacio vectorial. (Los vectores azul y amarillo crearon vectores verdes, que cayeron en el mismo espacio vectorial)
3. Los vectores se pueden multiplicar con un escalar y la respuesta debería, nuevamente, estar en el espacio vectorial. (Danny multiplicó el color negro con el verde para hacer un verde oscuro que, nuevamente, es lo que Wendy le pidió que hiciera).

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Nos restringimos pensando en el espacio vectorial como vectores. Podría ser un conjunto de cualquier cosa, dentro del espacio n-dimensional, que pueda satisfacer los axiomas mencionados anteriormente (vagamente).

Por ejemplo, quiero crear un espacio de funciones continuas . ¿Es este espacio un espacio vectorial?

Veamos.

1. La función continua se puede agregar con otra función continua (por ejemplo, piense en sin (x) + cos (x)) y la respuesta sería una función continua.
2. Las funciones continuas se pueden multiplicar con un escalar (5 * sin * (x)) aún es continuo.

Entonces sí, un espacio creado a partir de funciones continuas es un espacio vectorial.

Entonces, si tiene un espacio vectorial V con un subconjunto (que está hecho de vectores) como S, entonces S se llama como un subespacio de un espacio vectorial.

Cualquier subconjunto de un espacio vectorial, se llama un subespacio si es en sí mismo un espacio vectorial.

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Ahora, volvamos con Danny antes de que Tony le muestre otro sueño aterrador que dice ¡ REDRUM !

Danny puede seleccionar los colores de su elección, solo los axiomas de Wendy deben estar satisfechos. ¿Cuántas combinaciones puede elegir?

Él puede elegir,
V1 (azul claro, verde oscuro),
V2 (azul oscuro, verde claro),
V3 (verde, verde),
V4 (Negro, Verde),
V5 (negro, verde oscuro),
V6 (Negro, Verde Claro)…. etc.

Entonces, él tiene opciones de Vectores V1, V2, … V6. Y cualquier cantidad de combinaciones que pueda llevar con él al Hotel Overlook. Digamos que está tomando números C1 de V1, números C2 de V2, números C3 de V3, …

Entonces, él tiene un lapso de vectores como un resumen en su caja de color:

C1V1 + C2V2 + … CnVn

Así es como se define Span .

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Ok, esto es totalmente irrelevante, pero voy a escribir de todos modos! (Para terminar la historia, por supuesto)

‘¡Aqui esta Johnny!’

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Gracias por A2A Charu Joshi

Answer 2

El conocimiento del espacio vectorial y la independencia lineal se requieren para entender estos términos.

Lapso

Dado un espacio vectorial V, el intervalo de V es simplemente el conjunto S de todas las combinaciones lineales finitas de los elementos de V. En otras palabras, cualquier elemento de V puede representarse como una combinación lineal de uno o más elementos de S.

Por ejemplo, para el conjunto de vectores 2-d V, el conjunto S {(1,0), (0,1)} es un conjunto de expansión, o el intervalo lineal, porque cualquier vector 2-d puede representarse como el combinación lineal de uno o más elementos de S. Sin embargo, {(1,0), {1,1}} no es un tramo. (?)

Base

Base es un tipo especial de conjunto de expansión (o extensión) de un espacio vectorial, en el que todos los elementos son linealmente independientes entre sí. En el ejemplo anterior, el intervalo {(1,0), (0,1)} es una base porque (1,0) es linealmente independiente de (0,1). Por lo tanto, es una base para V. Pero el intervalo {(1,0), (2,0), {0,1}} no es una base porque los vectores no son linealmente independientes entre sí. ¿Puedes ver por qué?

Subespacio

Dado un espacio vectorial V, subespacio de V es cualquier subconjunto W de V tal que:

1. El vector cero, 0 , está en W.
2. Si u y v son elementos de W , entonces la suma u + v es un elemento de W ;
3. Si u es un elemento de W y c es un escalar, entonces el producto c u es un elemento de W.

Por ejemplo, para el conjunto de vectores 2-d V, el conjunto de elementos (x, y) en V para los cuales x = y es un subespacio de V. (Inténtelo para probarlo)