¿Por qué cada número real distinto de cero se puede expresar como una secuencia infinita de dígitos después de la notación decimal en los conceptos actuales de las matemáticas?

Answer 1

Cualquier número racional puede expresarse como una secuencia finita de dígitos o como una secuencia de repetición infinita. Obviamente, una secuencia infinita no se puede escribir en su totalidad, pero en muchos casos el patrón es claro, y en todos los casos existe un procedimiento definido para producir tantos dígitos como uno quiera calcular.

Ahora los números irracionales no pueden expresarse por una secuencia finita, ni por una secuencia repetitiva. Sin embargo, tal número puede expresarse mediante una secuencia de dígitos que no se repite. Nuevamente, una secuencia de este tipo no se puede escribir en su totalidad, pero existe un procedimiento claro y definido para computar tantos dígitos como a uno le importa, o para computar el dígito N, donde n es cualquier número finito. Para adoptar otro enfoque, para cualquier número real, uno puede encontrar un racional que sea mayor, pero dentro de cualquier margen (épsilon) se debe especificar, y de manera similar, un número racional que es más pequeño, pero dentro de cualquier margen que se desee especificar. Entonces, la representación digital de lo irracional debe estar entre esas dos secuencias que representan esos dos valores racionales.

(Todo esto es cierto no solo en notación decimal sino en notación posicional utilizando cualquier base especificada).

Answer 2

Un número real es un punto en la línea recta. Sea el número d entre 0 y 1. Estará protagonizado como

d = 0.….

Deje dividir el segmento [0,1) en 10 segmentos iguales numerados 0… 9 en orden esencial. El punto d pertenece a uno de ellos. El número de este segmento nos dará el primer dígito, por ejemplo, 2 por ejemplo. Entonces

d = 0.2…

Dividiendo segmento, conteniendo punto d, en 10 segmentos obtendremos el segundo dígito. Y así. Eso nos dará la presentación de d como una secuencia infinita de dígitos después del punto decimal.

Por cierto, cero en no una excepción, se presenta como 0.0000 …

Answer 3

Una posible explicación / perspectiva.

Cero e infinito son las constantes menos comprendidas del Universo. El cero absoluto y el infinito absoluto están más allá de nuestra comprensión en la medida en que, sin asignarle un límite, es imposible que alcancemos resultados significativos o reales.

O en otras palabras, todos los números reales pueden haber sido creados por algún producto de cero e infinito. Y cuando haces eso, las trazas de cero e infinito no pueden eliminarse por completo, por lo que obtenemos infinitos dígitos de secuencia después de la notación digital.

Ahora, puedes objetar que el producto de cero e infinito es indeterminado. Pero no pienses, es el caso solo con el cero absoluto y el infinito absoluto y no con el cero / infinito limitado. Por ejemplo:

(x-1) / (x ^ 2 + 2x-3)

lim (x-1) → 0

En la expresión anterior, en la medida en que no asignemos un límite, el valor es indeterminado. Pero tan pronto como asignamos un límite, el valor es 1/4 o 0.25. Pero eso parece ser solo una aproximación.

Nota: Los números son significativos / reales, solo si son representativos de una realidad físicamente existente. Desafortunadamente, la realidad física nunca puede alcanzar el cero absoluto o el infinito absoluto.

Answer 4

Entonces puede cero: 0.000 …

¿Porqué es eso? Mi teoría de conjuntos está un poco oxidada, pero básicamente es así:

Los números reales se definen como límites de series de números racionales. Entonces, en realidad, cada número debe escribirse como una secuencia infinita, pero facilitamos nuestras vidas salteando 000 … cuando sea posible y usando símbolos astutos como (142857) cuando la secuencia se repite infinitamente.

Answer 5

Estoy confundido con la palabra “escrito”, para mi ingenua idea, solo se pueden escribir números computables.