Pregunta respondida originalmente: ¿Hay algo que pueda probarse sin suposiciones o axiomas?
Bueno, dependiendo de lo que entiendas por “sin supuestos”, la respuesta es sí.
El ejemplo más simple sería la lógica proposicional clásica presentada en un estilo de deducción natural. Aquí no tenemos absolutamente ninguna necesidad de axiomas ya que el comportamiento de los conectivos está completamente determinado por las reglas de inferencia.
Pero la deducción natural hace uso de suposiciones temporales en sub-pruebas, que deben ser descargadas. En particular, esta es la regla de introducción [math] \ implica [/ math], que asume temporalmente algo para ver cuáles serían las consecuencias y luego deduce una implicación.
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En palabras el razonamiento sería el siguiente:
- Supongamos temporalmente que [math] A [/ math].
- Pues bien bla, bla bla
- Y por lo tanto [math] B [/ math]
- Entonces, suponiendo que [math] A [/ math] nos lleve a [math] B [/ math], descargando el supuesto de que, por lo tanto, tenemos que [math] A \ implica B [/ math]
Note muy cuidadosamente que toda la prueba no usa ninguna suposición, acabamos de establecer que si asumimos [math] A [/ math] entonces seguiría que [math] B [/ math], de ninguna manera estamos realmente asumiendo que [math] A [/ math] es verdadero.
Por supuesto, estoy asumiendo que la lógica de fondo en sí misma no cuenta como una suposición.