Esta es una gran pregunta, ya que realmente nos permite llegar a un acuerdo con nuestra comprensión de la naturaleza de los números y otros objetos matemáticos. Estoy escribiendo esto con algunos antecedentes y un poco de explicación, para que las personas con un poco menos de conocimiento previo puedan ampliar un poco su comprensión (espero).
Puntos de partida filosóficos para responder a la pregunta
¿Existen números “imaginarios”? Estoy poniendo la palabra “imaginario” en citas, ya que me parece que no son diferentes en cualquier realidad que tengan, digamos, números “irracionales” o enteros negativos. Todos ellos fueron reconocidos en el proceso de llevar a cabo diversos procedimientos matemáticos, necesitaron un tiempo para afianzarse y se han asegurado un lugar permanente en el universo matemático. Animo sinceramente a la gente que los llame por su término más apropiado en estos días, a saber, ” números complejos “.
Intuicionismo. Algunas personas dicen que ningún número tiene realidad, excepto los números contables naturales, es decir, los enteros positivos; todos los demás, hasta los números racionales (negativos y fracciones de enteros) son inventos humanos artificiales. Los números irracionales solo pueden aceptarse de manera provisional, y los números complejos son bastante inútiles para ellos. Además, solo aceptarán la utilidad de cualquier objeto matemático que pueda ser producido directamente por las manipulaciones humanas. No se permiten construcciones teóricas basadas en técnicas como la reducción a absurdum, que a su vez se basa en el principio de medio excluido. Entonces, no pudieron decir seriamente que los números imaginarios tienen alguna existencia. Ni conjuntos infinitos, números irracionales, etc. Esta es la escuela del “intuicionismo”, fundada por LEJ Brouwer y aún perpetuada por algunos matemáticos, así como por personas que disfrutan defendiendo posiciones incoherentes e incompatibles. Es, por supuesto, un punto de vista contraproducente e incoherente porque no puede entenderse aparte de las mismas condiciones que busca invalidar. Por ejemplo, las pruebas de su realidad deben tener en cuenta el medio excluido, que a su vez es una forma reiterada de la ley de la contradicción.
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Constructivismo. Pensaría que la mayoría de las personas que piensan sobre estos asuntos, por ejemplo, las personas que practican la lógica matemática, como David Hilbert y Bertand Russell, han mantenido una visión constructivista. Las personas que sostienen este punto de vista creen que los números y los objetos matemáticos no tienen existencia independiente, sino que son el producto del trabajo del matemático. Sin embargo, una vez que se ha descubierto una nueva verdad u objeto matemático, su realidad no puede ser descartada.
Piensa en una pintura. No tiene realidad intrínseca, pero una vez que el artista la ha dibujado, ha derivado la realidad y ya no se puede dudar de su existencia. De manera similar, los constructivistas creen que crean las realidades que producen en su trabajo, y una vez que se demuestra que son verdaderas, deben ser aceptadas como reales en el mundo de los pensamientos abstractos.
Realismo. A menudo, también llamado “platonismo”. Según esta escuela de pensamiento, los números y los objetos matemáticos tienen su propia existencia. Ya están presentes en todo el complejo de la realidad matemática. Así, el trabajo del matemático no es totalmente diferente del científico empírico, que no crea la realidad que estudia, sino que la observa y extrae inferencias de sus observaciones. La gran diferencia es, por supuesto, que un matemático (o un lógico) no encuentra sus conclusiones por observación empírica, sino por varias formas de deducción racional (pruebas directas de axiomas o postulados, reductio ad absurdum , inducción matemática, etc.). Hablando personalmente, este es el punto de vista que sostengo, y lo fundamenté en mi creencia de que el universo, los números y todo, fue creado por Dios. Algunos de sus defensores más famosos, que no han recurrido a un marco teísta, incluyen a Kurt Gödel y Raymond Smullyan.
Entonces, cuando hace una pregunta sobre la existencia de números “imaginarios”, está asumiendo una posición constructivista o realista, o está defendiendo una posición intuicionista o finitista por medio de un argumento de reducción . Como ya mencioné, en el caso del apellido, ya que los argumentos de reducción siempre comienzan con suposiciones contrarias a la conclusión pretendida y, por lo tanto, dependen de la mitad excluida, su posición sería inconsistente con su argumento.
La existencia de números complejos
Los números irracionales fueron reconocidos como tales en la época de Pitágoras. Esos son números que no pueden expresarse como fracciones de dos enteros. Los números negativos no llegaron a ser respetuosos hasta alrededor del siglo XVIII. Antes de eso, durante un tiempo, se los consideraba un recurso inevitable para los pasos intermedios en la resolución de problemas, pero no se los consideraba como parte de todo el sistema numérico hasta bastante tarde. Relativamente hablando, a los números complejos y negativos se les otorgó su estatus en una afinidad temporal muy cercana. En todos estos casos, se implementaron porque ciertas operaciones matemáticas legítimas eran imposibles en ciertas situaciones, pero podían entretenerse una vez que se reconocía otro tipo de números.
Es una propiedad de todos los números reales, positivos y negativos, que se pueden agregar. Pero solo para algunos pares de números se puede restar un número de otro sin dejar el dominio de números positivos. Pero recuerde que la resta no es nada más que la suma de una cantidad negativa. Por lo tanto, si intenta escribir reglas para cuando la adición es o no es legítima, debe dibujar algunas líneas arbitrarias.
6 + 4 = 10
6 – 4 = 6 + -4 = 2
4 – 6 = 4 + -6 = -2
Para mantener la adición consistente, se tuvo que importar un número negativo.
De manera similar, es una propiedad de todos los números reales que pueden elevarse a varios [, por ejemplo, cuadrados, en cubos, etc. Supongo que este es el punto donde se supone que la exponenciación es relevante . Pero parecía que para algunos de ellos el proceso no podía revertirse.
[math] 2 ^ 2 = 4 [/ math]. [math] sqrt 4 = 2 [/ math]
– [math] 2 ^ 2 [/ math] = Una raíz cuadrada secundaria de 4 es -2.
Entonces, ¿cómo podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo? No podemos hacerlo a menos que abramos los campos numéricos una vez más y reconozcamos los números complejos que comienzan con el llamado número “imaginario” i , o como dirían los ingenieros, j. i se define como la raíz cuadrada de -1 . De repente, la recta numérica se convierte en el plano numérico, en el que cada número real se puede expresar como una parte “real” y una parte “imaginaria”. Estos son los números complejos, como ” n + mi “, por ejemplo, 3 + 2i es el número 3 al que se ha agregado 2 veces la raíz cuadrada de -1 . Si un número no tiene una parte imaginaria, aún puede expresarse como un número complejo, es decir, como, digamos, 3 + 0i. A la inversa, un “número imaginario” es también un número complejo, e., G., 0 + 2i .
¿Es posible que tengamos que recurrir a un nuevo tipo de número en algún lugar del futuro de las matemáticas cuando una operación legítima no pueda llevarse a cabo por lo que actualmente conocemos?
Teóricamente, creo que deberíamos estar abiertos a ello. Solo piense en los muchos objetos matemáticos que se han descubierto, por ejemplo, matrices, logaritmos, límites, integrales, espacio no euclidiano, etc. Las matemáticas siempre están abiertas a nuevas ideas no triviales.
En la práctica, incluso si supiera muchas más matemáticas que yo, no podría especificar qué tipo de número nuevo sería. No puedo describir algo de lo que aún no tenemos conocimiento. Pero, si mantenemos nuestras mentes abiertas en la búsqueda de descubrimientos matemáticos, nunca lo sabremos.