Puede obtener una buena estimación aproximada de manera muy simple, si está dispuesto a conectar un poco de matemática. Una vez más, esta es una respuesta con un poco de matemática, pero nada demasiado complicada.
Intenta seguirlo si puedes! No es tan aterrador como parece, lo prometo!
Para empezar, necesitas algunas aserciones:
- La relatividad general es un buen modelo del universo a gran escala.
- Existe una escala de longitud en la que puede modelar el universo como un “fluido perfecto” con densidad uniforme
- Es decir, puede seguir “alejándose” hasta que las escalas más grandes que podamos concebir (galaxias y cúmulos) sean solo fluctuaciones microscópicas en el fluido.
Este “fluido” es isotrópico y homogéneo (igual en todas partes y en todas direcciones)
Por lo que podemos decir, estas suposiciones son todas muy, muy buenas suposiciones, aunque si se demuestra que alguna de ellas se rompe, ¡obviamente lo que sigue ya no es cierto!
De estas afirmaciones se puede deducir que la única métrica (ver aquí) que es máxima simétrica es la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW), que toma la forma:
[math] -c ^ 2 d \ tau ^ 2 = -c ^ 2 dt ^ 2 + a (t) ^ 2 \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) d \ phi ^ 2 \ right] [/ math]
Donde [math] a (t) [/ math] es el factor de escala cosmológica: es lo que nos dice qué tan grande es el universo, al caracterizar la diferencia entre distancias físicas y distancias de movimiento conjunto, y [math] k [/ Matemáticas] es una parametrización de la curvatura del espacio .
Notamos que [math] a (t) [/ math] está hecho para ser una función del tiempo, lo que implica que el universo cambia de tamaño (se expande o se contrae); la razón es simple: no hay razón para no hacerlo. ¡ser! Sabemos que no puede ser una función del espacio, porque eso violaría el principio de homogeneidad, pero hasta ahora nada le impide evolucionar en el tiempo.
Nuestro objetivo es descubrir qué es [math] a (t) [/ math], porque eso nos puede contar sobre la historia y, con suerte, sobre el futuro, de nuestro universo.
Añadiré en este punto que podemos seleccionar nuestras unidades de tal manera que, sin pérdida de generalidad [math] a (\ text {now}) = 1 [/ math] – ¡esto hace que nuestras matemáticas sean más agradables!
Me saltearé el siguiente paso, porque es desagradable, feo y tomaría una hora o dos para escribir.
Su esencia es la siguiente:
Tenemos dos ecuaciones que afirmamos que deben describir tanto el espacio como el tiempo: la métrica FLRW y las ecuaciones de campo de Einstein . Por lo tanto, sustituimos la métrica FLRW en las ecuaciones de campo de Einstein y vemos qué restricciones nos imponen .
Esto implica calcular los símbolos de Christoffel, el tensor de Ricci, que es solo un desastre.
Por lo tanto, saltamos directamente a la conclusión, que son dos ecuaciones llamadas ecuaciones de Friedmann. El primero de los cuales viene dado por:
[math] \ left (\ frac {da} {dt} \ right) ^ 2 = a ^ 2 \ left (\ frac {8 \ pi G} {3} \ rho \ right) [/ math]
Donde [math] \ rho [/ math] describe la densidad de energía del universo (elegí absorber en ella la densidad de energía que surge de la curvatura y de la constante cosmológica; otras fuentes incluirán [math] k [/ math] y [math] \ Lambda [/ math] términos explícitamente)
Parece que debería ser muy fácil de resolver, hasta que recuerdes que [math] \ rho = \ rho (a) [/ math] – es decir, ¡es una función del tamaño del universo!
Es tentador afirmar inmediatamente que [math] \ rho \ propto a ^ {- 3} [/ math] – pero este no es realmente el caso, esto solo es cierto para la densidad de la materia. Para la densidad de energía de radiación es [math] \ rho \ propto a ^ {- 4} [/ math].
La relación general es [math] \ rho \ propto a ^ {- 3 (1 + w)} [/ math] donde [math] w [/ math] es la ecuación de estado que relaciona la densidad con la presión.
La ecuación de estados para algunos tipos comunes de masa / energía se da:
- Materia no relativista (fría), no interactuante:
Radiación (o materia ultrarelativista)
- [math] w = \ frac {1} {3} [/ math]
Energía oscura (posiblemente)
Sin embargo, si observamos nuestro universo, ciertamente observamos al observador casual que nuestro universo está dominado por la materia ; la mayor parte de la gravedad en el universo parece provenir de cosas tangibles, no de ninguna otra parte.
Por lo tanto, como primera suposición podemos modelar un “universo dominado por la materia”, donde [math] \ rho \ approx \ rho_ {M} [/ math]
Miramos hacia atrás en nuestras ecuaciones y vemos que [math] \ rho_M \ propto a ^ {- 3} [/ math]. Recordamos que [math] a (\ text {now}) = 1 [/ math] – lo que significa que [math] \ rho_M (\ text {now}) = \ rho_ {M, 0} [/ math], el Densidad de masa actual de nuestro universo.
Por lo tanto, tenemos:
[math] \ rho \ approx \ rho_0 a ^ {- 3} [/ math]
Y:
[math] \ left (\ frac {da} {dt} \ right) ^ 2 = a ^ 2 \ left (\ frac {8 \ pi G} {3} \ rho \ right) [/ math]
Ahora es un asunto simple sustituirlos para obtener:
[math] \ left (\ frac {da} {dt} \ right) ^ 2 = \ frac {1} {a} \ times \ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3} [/ math]
Entonces:
[math] \ frac {da} {dt} = \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} [/ math]
Entonces es una cuestión simple integrar esto para encontrar el tamaño en el momento [math] t [/ math]:
[math] \ int_0 ^ {a (t)} \ sqrt {a} da = \ int_0 ^ t \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} dt [/ math]
(Los observadores observados también observarán una suposición adicional que se ha agregado: que [math] a (0) = 0 [/ math] – lo que significa que en algún momento en el pasado (lo que llamamos t = 0), el universo estaba en un estado infinitamente denso (o casi como no hace ninguna diferencia en esta aproximación). Luego, estamos encontrando [math] a [/ math] a la vez [math] t [/ math] después de que el universo existiera en este estado de densidad densa – en otras palabras, [math] t [/ math] es el tiempo transcurrido desde el Big Bang (¿en qué momento pensé que el tiempo era relativo? Buena pregunta: el tiempo medido en el marco comoving describió el FLRW)
Luego calculamos esta simple integral polinomial para obtener:
[math] \ frac {2} {3} a (t) ^ \ frac {3} {2} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} t [/ math]
Reorganizamos esto para obtener:
[math] a (t) = \ left (\ frac {3} {2} \ times \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} t \ right) ^ \ frac {2} {3 }[/mates]
Excepto, por supuesto, como hemos usado antes, [math] a (\ text {now}) = 1 [/ math].
Por lo tanto, si configuramos [math] t = t_ {now} [/ math], para asegurarnos de que [math] a (\ text {now}) = 1 [/ math], requerimos:
[math] t_ {now} = \ frac {2} {3 \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}}} [/ math]
De la simple manipulación algebraica!
En realidad, descubrir el valor de [math] \ rho_0 [/ math] es un asunto delicado, pero no podemos evitar el problema por completo que la expresión del parámetro Hubble es:
[math] H (t) ^ 2 = \ frac {\ dot {a} ^ 2} {a ^ 2} = \ left (\ frac {8 \ pi G} {3} \ rho \ right) [/ math]
Y por lo tanto:
[math] H (\ text {now}) = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3}} [/ math] – ¡y podemos medir fácilmente el parámetro actual de Hubble!
[math] t_ {now} = \ frac {2} {3 H_0} [/ math]
La estimación actual del parámetro de Hubble es de 70 km / s / MPc (MPc es Mega parsec ), que resulta ser [math] H_0 \ approx 2 \ times 10 ^ {- 18} s ^ {- 1} [/ math ]
Por lo tanto:
[math] t_ {now} \ approx \ frac {1} {3 \ times 10 ^ {- 18} \ text {s} ^ {- 1}} \ approx 3.3 \ times 10 ^ {17} [/ math] s
Esto a su vez sale como [math] t_ {now} \ approx 10.56 [/ math] billones de años.
Así que ahí vamos! ¡Estimamos la edad de nuestro universo en aproximadamente 10 mil millones de años!
Por supuesto … eso no es 13.8 o 13.72 o cualquiera que sea la estimación actual.
Entonces, ¿por qué nuestra estimación difiere?
La respuesta es bastante simple: nos aproximamos a que solo la masa tuvo algún efecto en nuestro universo; estábamos en un “universo dominado por la materia”, para facilitar las matemáticas.
Excepto, ya sabes, ¡la luz definitivamente existe! Por lo tanto, nos equivocamos al excluirlo totalmente de nuestras ecuaciones … También hay otras cosas que se deben tener en cuenta, sin duda, han oído hablar de la energía oscura. Esa es una de las otras cosas que necesitamos (la materia oscura ya se tiene en cuenta al respecto. término, sin embargo).
El resultado es que si tiene un universo que contiene una mezcla de materia fría ([math] w = 0 [/ math]), radiación y materia caliente ([math] w = \ frac {1} {3} [/ math ]), así como una constante cosmológica [math] (\ Lambda \ neq 0 [/ math]), y así sucesivamente, las ecuaciones se vuelven horribles y no lineales.
No hay una manera “agradable” de hacerlo como lo hice allí para el simple universo de la materia. Necesita conectarlos a una computadora y dejar que eso haga el trabajo por usted.
Como sucedió, ¡lo hice exactamente hace unos meses!
Me pidieron que encontrara la ecuación implícita para un universo que era espacialmente plano ([math] k = 0 [/ math]) y no tenía una constante cosmológica ([math] \ Lambda = 0 [/ math]), pero que tenía una Mezcla de radiación y materia en ella. En este ejemplo, la proporción de materia a radiación fue controlada por la “relación de infierno” (¡mi profesor tenía un don para lo dramático!), [Math] I_n = \ frac {\ rho _ {\ gamma, 0}} { \ rho_ {M, 0}} [/ math]
El resultado de se traza a continuación:
Como puede ver, las diferentes proporciones de materia y radiación producen universos de diferentes tamaños en diferentes momentos; por lo tanto, para saber qué edad tenía su universo en este caso, no solo necesitaría saber [math] H_0 [/ math], sino necesitarías saber [math] I_n [/ math] también!
Nuestro universo es aún más complejo: tenemos (posiblemente) términos de [math] k [/ math] y [math] \ Lambda [/ math] que hacen que todo sea aún más complicado y horrible, y añadimos aún más parámetros que necesitamos saber acerca de.
Sin embargo, los científicos son inteligentes, y han encontrado docenas de formas independientes para restringir los parámetros de nuestro universo, y luego han puesto todos estos resultados en una versión más grande e inteligente de lo que hicimos allí, y el final. el resultado es alrededor de 13.7 o 13.8 billones de años.
Pero nuestra aproximación de primer orden de 10 mil millones de años ciertamente no fue mala, ¡y las matemáticas detrás de ella son mucho más fáciles de manejar!