¿Cuándo no son informativas las tautologías?

Answer 1

Cuando lo que dice ya está contenido en las definiciones necesarias de los conceptos involucrados en la declaración.

Por ejemplo: “Los triángulos tienen tres ángulos internos”. No es posible entender los términos de esta declaración, por un lado, y no haber comprendido este hecho a través de la aprehensión pura de los términos, por el otro.

La forma pura de la tautología es x = x . Estos son fáciles de ver porque no son informativos (y siempre son verdaderos), “los triángulos son triángulos”, “Flurshmoofs son Flurshmoofs”, etc. El que está arriba con los ángulos internos se representaría ” x = y (donde x = y)” . Es decir, cuando preguntamos por una aclaración de x solo recibimos y.

Las declaraciones informativas, por otro lado, siempre sintetizarán nuevo contenido en el concepto de los términos que no estaban necesariamente contenidos dentro de los términos inicialmente. Es posible comprender completamente los términos “Hipotenusa”, “Ángulo recto”, “triángulo” y “cuadrado” y no comprender, necesariamente, que todos estos términos pueden estar interrelacionados en una relación determinada “a ^ 2 = (b ^ 2 + c ^ 2) “.

En la nomenclatura kantiana esta distinción es entre proposiciones analíticas a priori y sintéticas a priori . He escrito aquí sobre estas distinciones kantianas.

Este fue también un gran problema en el nacimiento de la lógica moderna, donde las declaraciones de identidad, si fueran ciertas, siempre fueron tautológicas en los niveles de su referencia, incluso si fueran interesantes. Por ejemplo: “La estrella de la mañana es la estrella de la tarde” o “Samuel Clemens es Mark Twain”. Si estas afirmaciones son ciertas, entonces simplemente están duplicando el mismo objeto y diciendo que es idéntico a sí mismo. Frege escribió un artículo seminal tratando de salir de esta dificultad al evocar la noción de “sentido” para aumentar las dimensiones de los términos dentro de la proposición: Sentido y Referencia.

Además, Wittgenstein, en el Tractatus Logico-Philosophicus , se embarca en una aventura masiva que trata todo esto. Lo recomiendo altamente, ya que parece que esta pregunta se está desviando hacia la problemática central de ese texto.

Answer 2

La diferencia radica en el hecho de que la lógica “conoce” todas las consecuencias de los axiomas, pero usted no. A menudo no está claro qué teoremas son tautológicos y cuáles no, a veces durante siglos.

No hay una distinción clara entre lo que es “obvio” y lo que no lo es. Como la vieja broma:

Matemático 1: Y este paso es trivial.

Matemático 2: No, yo no compro eso.

Cuatro horas trabajando juntos en ello.

Matemático 2: Tienes razón. Es trivial.

Hemos elegido ciertos axiomas como de particular interés porque parecen corresponderse con “el mundo real” (o algún otro dominio de interés), y los teoremas que siguen son verdaderos en “el mundo real” de alguna manera potencialmente útil. No siempre sabemos qué son, por lo que, a pesar de que son tautológicamente ciertos a partir de los axiomas, nos sorprendemos e informamos cuando descubrimos las pruebas.