¿Son las ecuaciones diferenciales solo soluciones a multivariables? Si es así, ¿cómo están conectadas estas variables entre sí?

Answer 1

No. Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran una o más funciones desconocidas y sus derivadas. Por ejemplo:

[math] \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} f (x) – 3 \ frac {d} / {dx} f (x) + 2f (x) = 0 [/ math] es una ecuación diferencial con una función desconocida f (x). Es una ecuación diferencial de segundo orden porque involucra la segunda derivada de la función desconocida f (x). Las soluciones a esta ecuación es cualquier función de la forma [math] Ae ^ {2x} + Be ^ x [/ math] y, por lo general, tiene dos restricciones llamadas donde conoce el valor de f (x) en dos puntos o tanto el valor de f (x) como el valor de la derivada en algún punto y eso le permite determinar A y B para encontrar la función exacta que satisfaga tanto la ecuación diferencial como las restricciones. Sin restricciones, hay infinitas funciones que resuelven la ecuación para cualquier elección de valores para A y B.

También hay funciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales. Por ejemplo: [math] f_x (x, y) = -f_y (x, y) [/ math] es una ecuación diferencial parcial donde hay una función f desconocida de dos variables, de modo que si la derivas con respecto a x obtenga el negativo de lo que obtendría si lo derivara con respecto a y. Resulta que cualquier función de la forma g (xy) resolvería esa ecuación.

En estrecha relación con las ecuaciones diferenciales también se encuentran el campo de las ecuaciones en diferencias. Las ecuaciones en diferencias son la contraparte discreta del problema continuo de las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo:

[math] f (x + 2) – 5f (x + 1) + 6f (x) = 0 [/ math]

Es una ecuación de diferencia con las soluciones [math] f (x) = A2 ^ x + B3 ^ x [/ math] y se corresponde más o menos exactamente con la ecuación diferencial equivalente y también a menudo tiene restricciones para determinar los valores de A y SEGUNDO.