¿Qué libros técnicos debo leer para entender claramente los teoremas de Godel y sus implicaciones para las matemáticas?

Answer 1

La pregunta originalmente respondió: ¿Qué libros técnicos debo leer para comprender claramente los teoremas de Godel y sus implicaciones para las matemáticas?

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Seguir una prueba real del teorema para un sistema formal específico, es probablemente la mejor manera de entender claramente la afirmación del teorema (qué dice realmente) y cómo puede derivarse (por qué es válida).

La primera prueba que realmente seguí fue una prueba del teorema para una formalización específica de los conjuntos finitos hereditarios. Cada paso en el camino recibe la atención debida.

El libro está escrito para estudiantes de ciencias de la computación, por lo que no necesita ser un tipo de matemática pura para seguirlo.

Metamathematics, Machines and Gödel’s Proof (Tractos de Cambridge en Informática Teórica): N. Shankar: 9780521585330: Amazon.com: Libros

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En cuanto a sus implicaciones para las matemáticas, hay, por supuesto, dos problemas aquí.

Por un lado, para la práctica de las matemáticas, usted sabe las cosas que hacen los matemáticos para ganarse la vida, simplemente no hay implicaciones en absoluto. Las matemáticas continúan como siempre lo han hecho y siempre lo serán.

Sin embargo, podría decirse que hay algunas cuestiones filosóficas planteadas. Para mí, por ejemplo, el teorema plantea el problema de la existencia de la verdad matemática absoluta. Encuentro en el teorema evidencia de que el concepto mismo de una realidad platónica es incoherente. Y en la medida en que no es incoherente, es irrelevante, ya que no puede ser conocido.

Hay quienes estarían en desacuerdo y afirmarían con vehemencia que el propio Gödel veía estos mismos teoremas como evidencia del platonismo.

Qué puedo decir, soy arrogante. Supongo que creo que estaba muy equivocado. Pero una vez más, esto es filosofía, no matemáticas. No tiene importancia. Es simplemente viejos tontos que discuten definiciones y perspectivas.

Answer 2

Cuando se trata de entender la prueba de Gödel, el texto original no es tan malo si conoces la jerga. Si no, entonces Douglas Hofstadter ha escrito bastante sobre el teorema, sin embargo, sus libros no son precisamente técnicos.
En cuanto a las implicaciones del teorema, en realidad no lo son todo, excepto si eres un positivista lógico y todavía crees en el programa de fundación de Russell y similares.
El teorema se ha abierto a una visión en ciertas áreas de la lógica / matemática pura, de que la verdad / falsedad de las conjeturas e hipótesis depende de la base axiomática, y podría ser independiente.
Lo anterior se basa en una larga, ahora apagada, curiosidad sobre el tema y las respuestas que he encontrado.

Answer 3

El libro de texto de Mendelson sobre lógica tiene los teoremas de Gödel y el material de fondo necesario para entenderlos.